Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}
converge ou diverge. O conteúdo principal é o teste de comparação (ou limite de comparação) com uma série -p, usando que para x pequeno \sin(x)\sim x.

Passo 2

Para n grande, o argumento \tfrac1n de \operatorname{sen} é pequeno. Da expansão em série de Taylor temos
\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)=\frac{1}{n}+o\!\bigl(\tfrac1n\bigr) \quad\text{quando }n\to\infty.
Isso sugere que
\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n}} \approx\frac{1/n}{\sqrt{n}} =\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Definimos a série de comparação
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \quad\text{com}\quad b_n=\frac{1}{n^{3/2}}.
Esta é uma série -p com p=\tfrac{3}{2}>1, logo \sum b_n converge.

Passo 4

Aplicamos o teste do limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\frac1n\bigr)/\sqrt{n}}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1n\bigr)\,n =\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} =1,
onde a_n=\operatorname{sen}(\tfrac1n)/\sqrt{n}. Como o limite é um número finito e não nulo, a_n e b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Já que \sum b_n converge e \lim_{n\to\infty}a_n/b_n=1\in(0,\infty), concluímos pelo teste de limite de comparação que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\frac{1}{n}\bigr)}{\sqrt{n}}
também converge.

Resposta

A série converge.

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