Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{k}} \quad \mathbb{Z} \ni k \geq 2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{k}}
com k\in\mathbb{Z}, k\ge2. O que queremos é decidir se essa série converge ou diverge. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, que é muito eficaz quando o termo geral é definido por funções de crescimento lento, como potências de logaritmo.

Passo 2

Verificamos que a sequência
a_n = \frac{1}{(\ln(n))^{k}}
é positiva e decrescente para n\ge2, pois \ln(n) cresce e, portanto, (\ln(n))^k também cresce. Logo podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy: a série \sum a_n converge se, e somente se, a série
\sum_{m=1}^{\infty} 2^{m}\,a_{2^{m}}
converge.

Passo 3

Calculamos o termo condensado:
2^{m}\,a_{2^{m}} =2^{m}\,\frac{1}{\bigl(\ln(2^{m})\bigr)^{k}} =2^{m}\,\frac{1}{(m\ln 2)^{k}} =\frac{2^{m}}{(\ln 2)^{k}\,m^{k}}.

Passo 4

Examinamos a série
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{2^{m}}{m^{k}}.
Para qualquer inteiro k, 2^{m}/m^{k} cresce geometricamente (dominado pelo 2^{m}), então essa série diverge, pois os termos não tendem a zero rápido o suficiente (de fato crescem exponencialmente). Como a série condensada diverge, pela equivalência do teste de Cauchy, a série original também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{k}}
diverge para todo inteiro k\ge2.

Exercícios relacionados