Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, sabendo que
. O assunto aqui é teste de convergência de séries numéricas pelo teste da integral imprópria: vamos comparar a série com a integral de uma função contínua e decrescente.
Passo 2
Definimos a função
Para
,
é positiva, contínua e decrescente em
. Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for finita.
Passo 3
Vamos calcular
usando integração por partes. Escolhemos
logo
Então
Ainda por partes (ou diretamente),
portanto
Passo 4
Avaliando de
até
:
Como
implica
, temos
e
. Logo a integral converge para um valor finito. Pelo teste da integral imprópria, a série
converge.
Resposta
A série converge para todo
.