Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{p}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{p}}
converge ou diverge, sabendo que p>1. O assunto aqui é teste de convergência de séries numéricas pelo teste da integral imprópria: vamos comparar a série com a integral de uma função contínua e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{\ln(x)}{x^p},\quad x\ge2.
Para p>1, f(x) é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty). Pelo teste da integral, a série \sum_{n=2}^\infty f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^p}\,dx
for finita.

Passo 3

Vamos calcular
I=\int_{2}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^p}\,dx
usando integração por partes. Escolhemos
u=\ln(x),\quad dv=x^{-p}\,dx,
logo
du=\frac{dx}{x},\quad v=\frac{x^{1-p}}{1-p}.
Então
\int \ln(x)\,x^{-p}\,dx =\frac{x^{1-p}}{1-p}\ln(x) -\int \frac{x^{1-p}}{1-p}\cdot\frac{dx}{x} =\frac{x^{1-p}}{1-p}\ln(x) -\frac{1}{1-p}\int x^{-p}\,dx.
Ainda por partes (ou diretamente),
\int x^{-p}\,dx=\frac{x^{1-p}}{1-p},
portanto
\int \ln(x)\,x^{-p}\,dx =\frac{x^{1-p}}{1-p}\ln(x) -\frac{x^{1-p}}{(1-p)^2}+C.

Passo 4

Avaliando de 2 até \infty:
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^p}\,dx =\lim_{b\to\infty}\Biggl[ \frac{x^{1-p}}{1-p}\ln(x) -\frac{x^{1-p}}{(1-p)^2} \Biggr]_{2}^{b}.
Como p>1 implica 1-p<0, temos b^{1-p}\to0 e b^{1-p}\ln(b)\to0. Logo a integral converge para um valor finito. Pelo teste da integral imprópria, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^p}
converge.

Resposta

A série converge para todo p>1.

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