Explique como a série de Fourier representa fisicamente a difusão de calor ao longo da barra metálica.

Passo 1

O enunciado pede para entender como a série de Fourier entra na solução da equação do calor numa barra metálica, usando o conteúdo de equação de difusão (ou calor) e técnicas de separação de variáveis e expansão em séries.

Passo 2

A equação de calor unidimensional é dada por
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2,
onde u(x,t) é a temperatura no ponto x e tempo t, e alpha é a difusividade térmica. Precisamos de condições de contorno (por exemplo, u(0,t)=u(L,t)=0) e uma condição inicial u(x,0)=f(x).

Passo 3

Aplicamos separação de variáveis: buscamos soluções do tipo u(x,t)=X(x)T(t). Isso leva a duas equações ordinárias ligadas por uma constante de separação -lambda:
X''(x) + lambda X(x) = 0,
T'(t) + alpha lambda T(t) = 0

Passo 4

As soluções para X(x) que satisfazem X(0)=X(L)=0 são os autovetores senoidais
Xn(x)=sinl(npi xLr),
com autovalores lambdan=(npi/L)^2. Cada modo espacial gera um modo temporal
Tn(t)=e^-alpha (npi/L)^2 t

Passo 5

Como a condição inicial f(x) geralmente não é exatamente um único modo, a gente a expande numa série de Fourier em senos:
f(x)=sumn=1^infty bnsinl(npi xLr),
onde
bn=2Lintegral0^L f(x)sinl(npi xLr),dx

Passo 6

A solução completa da temperatura vira a soma de todos os modos decaindo no tempo:
u(x,t)=sumn=1^infty bnsinl(npi xLr) e^-alpha (npi/L)^2 t

Passo 7

Fisicamente, cada termo da série é um “modo próprio” de calor que ocupa um padrão senoidal ao longo da barra. Modos com número n maior são mais oscilatórios espacialmente e decaem mais rápido, refletindo que variações finas de temperatura se desfazem mais depressa na difusão.

Passo 8

A série de Fourier nos dá exatamente a forma de decompor a distribuição inicial de temperatura em padrões básicos, e mostra como cada padrão decai exponencialmente, explicando a suavização progressiva da temperatura.

Resposta

A série de Fourier decompõe o perfil inicial de temperatura em modos senoidais próprios da barra, cada um evoluindo como e^-alpha(npi/L)^2 t, o que reflete fisicamente a difusão de calor: modos de alta frequência (variações finas) se apagam rápido e a distribuição de temperatura se torna cada vez mais suave.

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