Explique como a série de Fourier representa fisicamente a difusão de calor ao longo da barra metálica.
Passo 1
O enunciado pede para entender como a série de Fourier entra na solução da equação do calor numa barra metálica, usando o conteúdo de equação de difusão (ou calor) e técnicas de separação de variáveis e expansão em séries.
Passo 2
A equação de calor unidimensional é dada por
onde
é a temperatura no ponto
e tempo
, e
é a difusividade térmica. Precisamos de condições de contorno (por exemplo,
) e uma condição inicial
.
Passo 3
Aplicamos separação de variáveis: buscamos soluções do tipo
. Isso leva a duas equações ordinárias ligadas por uma constante de separação
:
Passo 4
As soluções para
que satisfazem
são os autovetores senoidais
com autovalores
. Cada modo espacial gera um modo temporal
Passo 5
Como a condição inicial
geralmente não é exatamente um único modo, a gente a expande numa série de Fourier em senos:
onde
Passo 6
A solução completa da temperatura vira a soma de todos os modos decaindo no tempo:
Passo 7
Fisicamente, cada termo da série é um “modo próprio” de calor que ocupa um padrão senoidal ao longo da barra. Modos com número
maior são mais oscilatórios espacialmente e decaem mais rápido, refletindo que variações finas de temperatura se desfazem mais depressa na difusão.
Passo 8
A série de Fourier nos dá exatamente a forma de decompor a distribuição inicial de temperatura em padrões básicos, e mostra como cada padrão decai exponencialmente, explicando a suavização progressiva da temperatura.
Resposta
A série de Fourier decompõe o perfil inicial de temperatura em modos senoidais próprios da barra, cada um evoluindo como
, o que reflete fisicamente a difusão de calor: modos de alta frequência (variações finas) se apagam rápido e a distribuição de temperatura se torna cada vez mais suave.