Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração no espaço (x,y,z) dada por 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1/x, e depois calcular a integral tripla de x²y²z nessa região. Vamos usar integração iterada.
Passo 2
A região é um “fauchão” sob a superfície z = 1/x acima do retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 no plano xy. Ou seja, no plano xy temos um retângulo, e para cada (x,y) nesse retângulo o z varia de 0 até 1/x. Ao esboçar, desenhe primeiro o retângulo no plano xy e depois a curva z = 1/x que decresce de z=1 (quando x=1) até z=1/2 (quando x=2).
Passo 3
Na integração em z usamos que x e y são constantes. Calculamos
Passo 4
Agora integramos em y:
Passo 5
Por fim integramos em x, que aparece só como constante 1/6: