Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral1^2 integral0^22 integral0^1 / x x^2 y^2 z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração no espaço (x,y,z) dada por 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1/x, e depois calcular a integral tripla de x²y²z nessa região. Vamos usar integração iterada.

Passo 2

A região é um “fauchão” sob a superfície z = 1/x acima do retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 no plano xy. Ou seja, no plano xy temos um retângulo, e para cada (x,y) nesse retângulo o z varia de 0 até 1/x. Ao esboçar, desenhe primeiro o retângulo no plano xy e depois a curva z = 1/x que decresce de z=1 (quando x=1) até z=1/2 (quando x=2).

Passo 3

Na integração em z usamos que x e y são constantes. Calculamos
integral0^1/x x^2y^2z,dz = x^2y^2integral0^1/x z,dz = x^2y^2z^22|0^1/x = x^2y^221x^2 = y^22

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1 y^22,dy = 12y^33|0^1 = 16

Passo 5

Por fim integramos em x, que aparece só como constante 1/6:
integral1^2 16,dx = 16(2 - 1) = 16

Resposta

16

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