Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
e calcular a integral
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas cartesianas para encontrar o volume de um tetraedro.
Passo 2
Primeiro vamos projetar a região no plano
. Como
e
, a projeção é o triângulo de vértices
,
e
.
Passo 3
Em seguida, percebemos que a região 3D é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
e pelos planos coordenados. Ou seja,
Passo 4
Para calcular a integral, integramos primeiro em
. Como
vai de 0 até
, temos
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
: