Esboçar a região de integração e calcular as integrais:
integral0^1 integral0^1-y 1-x-y integral0^1-y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
0 <= y <= 1, 0 <= x <= 1 - y, 0 <= z <= 1 - x - y
e calcular a integral
integral0^1 !integral0^1-y !integral0^1-x-y dz,dx,dy
O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas cartesianas para encontrar o volume de um tetraedro.

Passo 2

Primeiro vamos projetar a região no plano xy. Como 0 <= y <= 1 e 0 <= x <= 1 - y, a projeção é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Em seguida, percebemos que a região 3D é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano x+y+z=1 e pelos planos coordenados. Ou seja,
x >= 0, y >= 0, z >= 0, x+y+z <= 1

Passo 4

Para calcular a integral, integramos primeiro em z. Como z vai de 0 até 1 - x - y, temos
integral0^1-x-y dz = 1 - x - y

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1-y (1 - x - y),dx = [ (1-y)x - x^22 ]0^1-y = (1-y)^2 - (1-y)^22 = (1-y)^22

Passo 6

Por fim, integramos em y:
integral0^1 (1-y)^22 ,dy = 12 integral0^1 (1-y)^2 ,dy = 12 cdot 13 = 16

Resposta

16

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