Explique o significado físico das seguintes equaçãoes:
nabla cdot E=rhovarepsilon0

Passo 1

O enunciado nos pede para explicar o significado físico da forma diferencial da lei de Gauss para o campo elétrico, dada por
nablacdotE = rhovarepsilon0,
onde E é o campo elétrico, rho é a densidade volumétrica de carga e varepsilon0 é a permissividade do vácuo. O conteúdo envolve cálculo vetorial (divergência) e eletrostática (Maxwell–Gauss).

Passo 2

Vamos lembrar o que é divergência de um campo vetorial. A divergência nablacdotE mede, num ponto, o quanto as linhas de campo “saem” ou “entram” naquele ponto por unidade de volume. Se nablacdotE>0, há mais linhas saindo do que entrando (fonte); se nablacdotE<0, há mais linhas entrando (sumidouro).
A forma diferencial nablacdotE = rho/varepsilon0 é equivalente à forma integral da lei de Gauss,
ointS Ecdot dA = Qintvarepsilon0,
por meio do teorema da divergência, que diz
ointS Ecdot dA = integralV (nablacdotE),dV
Comparando com Qint = integralVrho,dV, obtemos a forma local nablacdotE = rho/varepsilon0.

Passo 3

Fisicamente, essa equação afirma que as cargas elétricas atuam como fontes (cargas positivas) ou sumidouros (cargas negativas) do campo elétrico. Num ponto onde rho>0, o campo “irradia-se” para fora; onde rho<0, ele “converge” para dentro. A intensidade desse efeito é proporcional à densidade de carga.
Uma consequência importante é que, em regiões sem carga ( rho=0), temos
nablacdotE=0,
ou seja, não há fontes nem sumidouros locais do campo — o fluxo que entra em qualquer volume entra e sai equilibrado.

Resposta

A equação nablacdotE = rho/varepsilon0 diz que a divergência do campo elétrico num ponto é igual à densidade de carga naquele ponto dividida pela permissividade do vácuo. Em outras palavras, cargas positivas geram (são fontes de) linhas de campo elétrico que saem, e cargas negativas atraem (são sumidouros) linhas de campo que entram, com intensidade proporcional à quantidade de carga local.

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