Explique sucintamente o que é:
Equação característica;
Equação característica;
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar, de forma sucinta, o que é a “Equação característica”.
Informações que o enunciado fornece (pego da imagem): o sistema em malha tem blocos com funções de transferência ,
em série no caminho direto, e um ramo de realimentação que passa por
para o primeiro somador; há também uma realimentação direta do sinal de saída para o segundo somador (feedback unitário). Não foi pedido explicitamente para calcular a equação característica do diagrama, mas como a figura está presente eu vou usá-la para dar um exemplo concreto.
Informações que o enunciado fornece (pego da imagem): o sistema em malha tem blocos com funções de transferência
Passo 2
Definição conceitual (passo didático pequeno): a “equação característica” é a equação que obtém-se igualando a zero o denominador da função de transferência do sistema em malha fechada. Em termos práticos isso quer dizer: as soluções dessa equação (as raízes) são os polos do sistema em malha fechada — e esses polos determinam o comportamento dinâmico e a estabilidade do sistema. Em notação de espaço de estados, a equação característica também pode ser escrita como
.
Passo 3
Fórmula prática para um caso simples (para aprender a usar na prova): se você tiver um único loop de realimentação negativa com função direta
e função de realimentação
, a função de transferência em malha fechada é
e a equação característica é
Explanação: o denominador
é exatamente o que você iguala a zero. As raízes desse polinômio (ou equação racional) são os polos fechados.
Passo 4
Como proceder quando há realimentações aninhadas (dica prática para a prova): resolva uma malha de cada vez. Por exemplo, se há um bloco
com realimentação unitária interna, calcule primeiro a função de transferência fechada dessa submalha
. Depois use esse
em série com os outros blocos para formar a expressão da malha externa e aplique a fórmula
. Outra forma é escrever diretamente a equação característica combinando termos (vou mostrar isso no exemplo).
Passo 5
Aplicando ao diagrama da figura (passo a passo algébrico): identifique os blocos
-
(antes do segundo somador), -
(após o segundo somador), -
(feedback que volta ao primeiro somador), - e há feedback unitário
que volta ao segundo somador.
Trabalho com as malhas aninhadas: a malha interna envolve
com feedback
. A função fechada dessa submalha é
A malha externa tem ganho direto
e realimentação
. A equação característica da malha externa é
Passo 6
Simplificação algébrica (mostrar como chegar ao polinômio): substituindo
temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora substituímos os valores dos blocos:
Multiplicando por
para limpar denominadores:
Expandindo e somando termos:
Esse é o polinômio característico do sistema mostrado.
Passo 7
Interpretação rápida (o que fazer com isso na prova): as raízes da equação
são os polos fechados. Para verificar estabilidade sem calcular raízes você pode aplicar o critério de Routh–Hurwitz a esse polinômio: se todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos (para coeficientes reais), o sistema é estável. Mas o passo essencial para obter a equação característica é sempre identificar corretamente ganho direto e feedback e igualar a zero o denominador resultante.
Resposta
Equação característica: é a equação obtida igualando a zero o denominador da função de transferência em malha fechada (ou
); suas raízes são os polos do sistema e determinam a estabilidade.
Para o sistema da figura: .
Para o sistema da figura: