Explique sucintamente o que é:
Equação característica;

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, de forma sucinta, o que é a “Equação característica”.
Informações que o enunciado fornece (pego da imagem): o sistema em malha tem blocos com funções de transferência \dfrac{1}{s}, \dfrac{5}{s+5} em série no caminho direto, e um ramo de realimentação que passa por \dfrac{1}{s+1} para o primeiro somador; há também uma realimentação direta do sinal de saída para o segundo somador (feedback unitário). Não foi pedido explicitamente para calcular a equação característica do diagrama, mas como a figura está presente eu vou usá-la para dar um exemplo concreto.

Passo 2

Definição conceitual (passo didático pequeno): a “equação característica” é a equação que obtém-se igualando a zero o denominador da função de transferência do sistema em malha fechada. Em termos práticos isso quer dizer: as soluções dessa equação (as raízes) são os polos do sistema em malha fechada — e esses polos determinam o comportamento dinâmico e a estabilidade do sistema. Em notação de espaço de estados, a equação característica também pode ser escrita como \det(sI - A)=0.

Passo 3

Fórmula prática para um caso simples (para aprender a usar na prova): se você tiver um único loop de realimentação negativa com função direta G(s) e função de realimentação H(s), a função de transferência em malha fechada é
G_{cl}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
e a equação característica é
1+G(s)H(s)=0.
Explanação: o denominador 1+G(s)H(s) é exatamente o que você iguala a zero. As raízes desse polinômio (ou equação racional) são os polos fechados.

Passo 4

Como proceder quando há realimentações aninhadas (dica prática para a prova): resolva uma malha de cada vez. Por exemplo, se há um bloco G_2(s) com realimentação unitária interna, calcule primeiro a função de transferência fechada dessa submalha G_{2,cl}(s)=\dfrac{G_2(s)}{1+G_2(s)}. Depois use esse G_{2,cl} em série com os outros blocos para formar a expressão da malha externa e aplique a fórmula 1+\text{(ganho direto)}\cdot H_{\text{externo}}=0. Outra forma é escrever diretamente a equação característica combinando termos (vou mostrar isso no exemplo).

Passo 5

Aplicando ao diagrama da figura (passo a passo algébrico): identifique os blocos
  • G_1(s)=\dfrac{1}{s} (antes do segundo somador),
  • G_2(s)=\dfrac{5}{s+5} (após o segundo somador),
  • H_1(s)=\dfrac{1}{s+1} (feedback que volta ao primeiro somador),
  • e há feedback unitário H_2(s)=1 que volta ao segundo somador.
Trabalho com as malhas aninhadas: a malha interna envolve G_2 com feedback H_2=1. A função fechada dessa submalha é
G_{2,cl}(s)=\frac{G_2(s)}{1+G_2(s)}=\frac{\dfrac{5}{s+5}}{1+\dfrac{5}{s+5}}.
A malha externa tem ganho direto G_1(s)\,G_{2,cl}(s) e realimentação H_1(s). A equação característica da malha externa é
1 + G_1(s)\,G_{2,cl}(s)\,H_1(s)=0.

Passo 6

Simplificação algébrica (mostrar como chegar ao polinômio): substituindo G_{2,cl} temos
1 + G_1(s)\,\frac{G_2(s)}{1+G_2(s)}\,H_1(s)=0.
Multiplicando ambos os lados por 1+G_2(s) obtemos
1+G_2(s) + G_1(s)G_2(s)H_1(s)=0.
Agora substituímos os valores dos blocos:
1+\frac{5}{s+5}+\frac{1}{s}\cdot\frac{5}{s+5}\cdot\frac{1}{s+1}=0.
Multiplicando por s(s+5)(s+1) para limpar denominadores:
s(s+5)(s+1)+5s(s+1)+5=0.
Expandindo e somando termos:
s^3+11s^2+10s+5=0.
Esse é o polinômio característico do sistema mostrado.

Passo 7

Interpretação rápida (o que fazer com isso na prova): as raízes da equação
s^3+11s^2+10s+5=0
são os polos fechados. Para verificar estabilidade sem calcular raízes você pode aplicar o critério de Routh–Hurwitz a esse polinômio: se todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh forem positivos (para coeficientes reais), o sistema é estável. Mas o passo essencial para obter a equação característica é sempre identificar corretamente ganho direto e feedback e igualar a zero o denominador resultante.

Resposta

Equação característica: é a equação obtida igualando a zero o denominador da função de transferência em malha fechada (ou \det(sI-A)=0); suas raízes são os polos do sistema e determinam a estabilidade.
Para o sistema da figura: \;s^3+11s^2+10s+5=0.

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