Explique por que a tensão superficial é desprezível em escoamentos em grandes escalas (e.g., rios, oceanos).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por que a tensão superficial pode ser desprezada em escoamentos com dimensões características muito grandes (rios, oceanos). O conteúdo-chave é comparar a magnitude das forças de tensão superficial com as forças gravitacionais (ou inerciais) usando números adimensionais. Vamos precisar dos conceitos de comprimento capilar e número de Bond.

Passo 2

Estimação das ordens de grandeza das forças envolvidas. A força de tensão superficial que atua ao longo de uma aresta típica de comprimento L escala como
Fsigma sim sigma,L,
onde sigma é a tensão superficial. Em contraste, a força gravitacional (peso do volume de fluido de dimensão L) escala como
Fg sim rho,g,L^3,
sendo rho a densidade e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Introduzimos o número de Bond, que mede a razão entre as forças gravitacionais e as forças de tensão superficial:
Bo = FgFsigma = rho,g,L^3sigma,L = rho,g,L^2sigma
Quando Bogg1, a gravidade domina e a contribuição da tensão superficial é desprezível.

Passo 4

Definimos o comprimento capilar ellc como a escala para a qual Bo=1:
ellc = raizsigmarho,g
Para a água à temperatura ambiente tipicamente sigmaapprox72 mN/m, rhoapprox10^3 kg/m^3 e gapprox9,8 m/s^2, resultando em
ellc approx 2,7 mm
Em rios ( Lsim1 m) ou oceanos ( Lsim10^3 m), temos Lggellc e logo
Bo = gl(Lellcgr)^2gg1

Passo 5

Conclusão: em escalas geofísicas ( Lggellc), o número de Bond é muito grande e as forças gravitacionais (e inerciais) superam amplamente as de tensão superficial. Por isso, ao modelar escoamentos de rios, oceanos e similares, podemos desprezar o efeito da tensão superficial.

Resposta

Em escoamentos de grande escala o comprimento característico L é muito maior que o comprimento capilar ellcapprox2,7,mm, o que implica Bo=(L/ellc)^2gg1. Assim, as forças gravitacionais/inerciais dominam e a tensão superficial é desprezível.

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