Utilizando o método da decomposição em frações parciais, encontre a transformada de Laplace inversa da função
Y(s) equiv 8 s(s+1)(s+2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
Y(s)=8s(s+1)(s+2)
usando decomposição em frações parciais. Vamos lembrar que para inverter a Laplace precisamos escrever Y(s) como soma de termos do tipo tfrac1s+a, cujo inverso é e^-at.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
8s(s+1)(s+2)=As+1+Bs+2
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
8s = A(s+2)+B(s+1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(s+2)+B(s+1) = (A+B),s + (2A+B)
Como isso deve ser igual a 8s+0, igualamos coeficientes de s e termo constante:
A+B=8, 2A+B=0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
subtraindo a primeira equação da segunda:
(2A+B)-(A+B)=0-8Longrightarrow A=-8
Então B=8-A=8-(-8)=16. Logo
8s(s+1)(s+2) = -8s+1 + 16s+2

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace inversa termo a termo, sabendo que
L^-1ltfrac1s+ar=e^-a t, temos
f(t)=L^-1Y(s) =-8,e^-1cdot t+16,e^-2cdot t =-8e^-t+16e^-2t, t>=0

Resposta

f(t) = -8e^-t + 16e^-2t

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