2 - Explique a teoria do tubo capilar?

É uma explicação para o fenômeno da capilaridade ela estabelece que a altura que o liquido sobe em um tudo capilar é dada pela formula hc=2t/r*pw onde T é a tensão superficial do líquido, hc altura capilar, pw massa específica da água e r raio do tubo.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a teoria do tubo capilar e a fórmula que dá a altura que o líquido sobe em um tubo fino.
Informações dadas pelo enunciado: a fórmula dada pelo enunciado é h_c=\dfrac{2T}{r}\cdot pw, onde T é a tensão superficial do líquido, h_c é a altura capilar, pw é a massa específica da água e r é o raio do tubo.
Observação importante: vamos verificar e corrigir essa fórmula durante a resolução, identificar as grandezas corretas, e mostrar passo a passo como obtê-la.

Passo 2

Conceito de tensão superficial e pressão de curvatura ( ideia física básica ).
Tensão superficial: a superfície de um líquido age como uma “membrana” elástica; a força por unidade de comprimento ao longo da superfície é a tensão superficial, que denotei por \gamma (na sua notação T). A unidade é \mathrm{N/m}.
Efeito da curvatura: uma superfície líquida curvada tem uma diferença de pressão entre os dois lados da interface (dentro do líquido e no gás). Essa diferença é dada pela equação de Young–Laplace:
\Delta p=\gamma\!\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right),
onde R_1 e R_2 são os dois raios de curvatura principais da superfície na vizinhança do ponto considerado. Explicando cada termo: \Delta p é a pressão do líquido menos a pressão do gás imediatamente acima; \gamma é a tensão superficial; R_1,R_2 têm dimensões de comprimento.

Passo 3

Aplicando Young–Laplace ao menisco do tubo (aproximação de casca esférica).
Em muitos casos o menisco pode ser aproximado por uma parte de esfera, então R_1=R_2=R e
\Delta p=\frac{2\gamma}{R}.
Aqui R é o raio de curvatura efetivo da superfície do menisco (não é o mesmo que o raio do tubo r, mas há uma relação geométrica entre eles).

Passo 4

Relação geométrica entre o raio de curvatura R, o raio do tubo r e o ângulo de contato \theta.
Definição do ângulo de contato: \theta é o ângulo que a superfície do líquido forma com a parede do tubo, medido através do líquido (por exemplo, \theta\approx 0^\circ para molhamento perfeito, \theta>90^\circ para não molhar).
Geométricamente, ao olhar o corte axial do tubo, da semiesfera que forma o menisco até a linha de contato com a parede surge a relação
\cos\theta=\frac{r}{R}.
Portanto
R=\frac{r}{\cos\theta}.
Comentário intuitivo: se \theta=90^\circ a superfície é aproximadamente plana ( \cos\theta=0, R\to\infty). Se \theta<90^\circ a superfície é concava para cima ( \cos\theta>0) e o líquido tende a subir.

Passo 5

Equilíbrio entre pressão capilar e coluna de líquido (obter a fórmula final).
No equilíbrio estático, a diferença de pressão devido à curvatura do menisco é equilibrada pela pressão hidrostática da coluna de líquido elevada dentro do tubo. A pressão hidrostática entre a superfície livre do reservatório (ou do gás externo) e o ponto imediatamente abaixo do menisco é \rho g h, onde:
  • \rho é a massa específica do líquido (densidade, na sua notação pw);
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h é a altura do líquido acima do nível externo.
    Igualando a pressão capilar à pressão hidrostática temos
\rho g h=\Delta p=\frac{2\gamma}{R}.
Substituindo R=\dfrac{r}{\cos\theta} obtemos
\rho g h=\frac{2\gamma}{r/\cos\theta}=\frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
Isolando h aparece a conhecida lei de Jurin:
\boxed{h=\dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.}

Passo 6

Interpretação da fórmula e símbolos (lembretes práticos para prova).
  • \gamma (ou T) é a tensão superficial do líquido, unidade \mathrm{N/m}.
  • \theta é o ângulo de contato (medido através do líquido): \cos\theta determina o sinal e a intensidade do efeito.
  • \rho (ou pw) é a massa específica do líquido, unidade \mathrm{kg/m^3}.
  • g é a aceleração da gravidade, tipicamente g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • r é o raio interno do tubo, unidade \mathrm{m}.
    Interpretações rápidas: se \cos\theta>0 ( \theta<90^\circ) o líquido sobe; se \cos\theta<0 ( \theta>90^\circ) o líquido é deprimido (desce) no tubo. Dimensionalmente, \dfrac{\gamma}{\rho g r} tem dimensão de comprimento, como deve ser.

Passo 7

Exemplo numérico detalhado (para internalizar e treinar contas sem calculadora).
Considere água com \gamma\approx 0,072\\ \mathrm{N/m}, \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}, tubo com raio r=0,5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, e molhabilidade total \theta\approx 0^\circ (portanto \cos\theta=1). Então
h=\frac{2\cdot 0,072\cdot 1}{1000\cdot 9,81\cdot 5\times10^{-4}}.
Calcule passo a passo: o denominador é
1000\cdot 9,81\cdot 5\times10^{-4}=9,81\cdot 0,5=4,905,
e o numerador é 0,144. Logo
h=\frac{0,144}{4,905}\approx 0,0294\\ \mathrm{m}=2,94\\ \mathrm{cm}.
Isso mostra que tubos muito finos (raio pequeno) produzem alturas apreciáveis.

Passo 8

Limitações, suposições e dicas para prova (o que pode cair).
  • Suposições no derivação: menisco em equilíbrio, menisco aproximável por uma superfície com curvatura esférica, variação de \gamma com temperatura e contaminação desprezada, efeito dinâmico/viscoso negligenciado.
  • Em tubos muito largos ou quando a superfície não for esférica, a aproximação pode falhar.
  • Em provas: memorize a forma correta \;h=\dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}\;, identifique claramente \gamma,\theta,\rho,g,r e verifique o sinal de \cos\theta para saber se sobe ou desce.
  • Se o enunciado usar as notações T para tensão superficial e pw para massa específica, troque mentalmente por \gamma e \rho ao aplicar a fórmula.

Resposta

h=\dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}

Exercícios relacionados