Parte 2: Para cada caso, justifique o método de análise de circuitos polifásicos escolhido
Seja uma carga trifásica com terminais A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} e N^{\prime}. Sabe-se que:
i. as tensões de fase do gerador são simétricas, 7,97 \mathrm{kV} e sequência de fases positiva;
ii. a impedância própria dos cabos é \mathrm{Z}_{\mathrm{p}}=(0,25+\mathrm{j} 0,56) \Omega / \mathrm{km};
iii. a impedância mútua da linha é \mathrm{Z}_{\mathrm{M}}=\mathrm{j} 0,25 \Omega / \mathrm{km};
iv. a linha de transmissão tem 10 km ;
v. a impedância da carga é Z_{A}=(50+j 45) \Omega, Z_{B}=j 60 \Omega, Z_{C}=j 60 \Omega e Z_{N}=10 \Omega.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (peguei estes números também da imagem enviada).
Dados do enunciado (extraídos do texto e da imagem):
Tensões de fase do gerador: 7,97\\ \mathrm{kV} (sistema simétrico, sequência de fases positiva).
Impedância própria dos cabos por km: \mathrm{Z}_{\mathrm{p}}=(0,25+\mathrm{j}\,0,56)\\ \Omega/\mathrm{km}.
Impedância mútua por km: \mathrm{Z}_{\mathrm{M}}=\mathrm{j}\,0,25\\ \Omega/\mathrm{km}.
Comprimento da linha: 10\\ \mathrm{km}.
Impedâncias da carga (estrela com ponto N’): \mathrm{Z}_A=(50+\mathrm{j}\,45)\\ \Omega, \mathrm{Z}_B=\mathrm{j}\,60\\ \Omega, \mathrm{Z}_C=\mathrm{j}\,60\\ \Omega e \mathrm{Z}_N=10\\ \Omega (impedância entre N’ e terra).
Topologia mostrada: gerador trifásico balanceado → linha trifásica com impedâncias próprias e mútuas → carga em estrela com neutro através de \mathrm{Z}_N.
O pedido nesta parte: para este caso, justificar qual método de análise de circuitos polifásicos escolheríamos e por quê (ou seja: explicar e justificar o método a ser usado para analisar o circuito dado).
Passo 2
Quais métodos são possíveis (resumo rápido e didático):
Método em domínio de fases (análise fase a fase com matrizes 3\times3): modelar diretamente as equações de fase, usando a matriz de impedância da linha (com as auto e mútuas) e as impedâncias fase-neutro da carga; resolve-se o sistema linear em \{V_a,V_b,V_c\} diretamente. É o método “direto” e geral — funciona sempre, mesmo se nada for simétrico.
Método das componentes simétricas (sequências 0,1,2): transformar tensões e correntes fase em componentes de sequência por meio da matriz de Fortescue, trabalhar com as redes de sequência (Z0, Z1, Z2) e depois recompor para obter as correntes/fases. Muito útil quando a fonte ou partes do circuito são simétricas, porque muitas matrizes se diagonalizam e simplificam (por ex. linhas transpostas/com mútuas iguais).
Passo 3
Critérios para escolher entre os métodos neste caso:
A fonte (gerador) é simétrica e fornece apenas sequência positiva conhecida (V_1\neq0,\\ V_0=V_2=0). Isso favorece o uso de componentes simétricas, pois a alimentação já está numa forma adequada.
A linha tem impedâncias próprias iguais entre fases e impedâncias mútuas iguais entre quaisquer pares (o enunciado dá um único valor \mathrm{Z}_p e um único valor \mathrm{Z}_M), ou seja, a matriz de impedâncias da linha é do tipo “todos os diagonais iguais e todos os off-diagonais iguais”. Essa estrutura é diagonalizável pelas componentes simétricas e leva a redes de sequência decoupladas (positiva e negativa iguais, zero diferente). Isso simplifica muito os cálculos se comparado a resolver um sistema 3\times3 completo.
A carga é desequilibrada (fases com impedâncias diferentes) e o neutro está ligado através de uma impedância \mathrm{Z}_N. Dessa forma haverá corrente de sequência zero não nula em geral, então a rede de sequência zero NÃO pode ser desprezada: é preciso modelá-la. Ainda assim, o método das componentes simétricas permite tratar as três redes (0,1,2) separadamente, conectando-as adequadamente pela condição do neutro quando necessário.
Conclusão imediata: o método das componentes simétricas é o mais eficiente e didático aqui, pois:
A linha com \mathrm{Z}_p e \mathrm{Z}_M simétricas se transforma em redes de sequência diagonais (fácil de obter Z_0,Z_1,Z_2).
A alimentação é positiva-simétrica (apenas V_1 é fonte), então só a rede positiva tem fonte direta.
A presença do neutro com \mathrm{Z}_N exige incluir a rede zero e modelar a ligação do neutro no domínio de sequência, mas isso é tratado com equações simples de acoplamento do neutro.
Em contraste, o método fase a fase exigiria montar e resolver um sistema 3\times3 complexo com acoplamento mútuo e ainda tratar a condição do neutro — equivalente, porém mais trabalhoso do ponto de vista algébrico.
Passo 4
Breve aula sobre componentes simétricas (o que são e as fórmulas básicas):
Definição: qualquer conjunto de tensões/três correntes trifásicas pode ser decomposto em três sistemas equivalentes: sequência zero (0), sequência positiva (1) e sequência negativa (2). As transformações diretas e inversas são:\mathbf{V}_{abc}=A\,\mathbf{V}_{012},\qquad \mathbf{I}_{abc}=A\,\mathbf{I}_{012},ondeA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & a^2 & a\\[4pt] 1 & a & a^2 \end{pmatrix}, \qquad a=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\,120^\circ}.A inversa vale\mathbf{V}_{012}=\frac{1}{3}A^H\mathbf{V}_{abc},\qquad \mathbf{I}_{012}=\frac{1}{3}A^H\mathbf{I}_{abc},onde A^H é a conjugada transposta de A.
Interpretação: escolher componentes simétricas é escolher uma base na qual muitas matrizes simétricas (como a matriz de impedância com off-diagonais iguais) ficam diagonais, transformando um problema acoplado em três problemas separados (um por sequência).]
Passo 5
Aplicação direta aos parâmetros da linha (cálculo numérico das impedâncias de sequência):
Primeiro calcular as impedâncias totais da linha (os valores dados são por km e a linha tem 10\\ \mathrm{km}):\mathrm{Z}_p^{\text{(tot)}}=10\cdot(0,25+\mathrm{j}\,0,56)= (2,5+\mathrm{j}\,5,6)\\ \Omega.
Para uma linha com auto iguais e mútuas iguais entre fases, as impedâncias de sequência são:Z_1 = Z_2 = Z_p^{\text{(tot)}} - Z_M^{\text{(tot)}}, \qquad Z_0 = Z_p^{\text{(tot)}} + 2\,Z_M^{\text{(tot)}}.Substituindo valores:Z_1 = Z_2 = (2,5+\mathrm{j}\,5,6) - \mathrm{j}\,2,5 = 2,5+\mathrm{j}\,3,1\\ \Omega.
Interpretação prática: a rede positiva e negativa verão a mesma impedância de linha Z_1, enquanto a rede zero verá Z_0 (maior reatância porque correntes de sequência zero “viajam” por caminhos de retorno com acoplamento diferente).
Passo 6
Como lidar com a carga em sequência (envolvendo o neutro com \mathrm{Z}_N\)) — equações e procedimento passo a passo:
- Modelo físico: a carga é estrela cujas impedâncias fase-neutro são \(\mathrm{Z}_A,\mathrm{Z}_B,\mathrm{Z}_C\). O ponto neutro N' está ligado à terra por \(\mathrm{Z}_N\). Isso cria acoplamento entre sequências através da condição de corrente no neutro.
- Equações em fase (fácil de entender antes de transformar): sejam \(V_a,V_b,V_c\) as tensões de fase (fase-terra) nos terminais da carga e \(V_{n'}\) a tensão do ponto N' em relação à terra. As correntes de fase são
\[I_a=\frac{V_a-V_{n'}}{Z_A},\qquad I_b=\frac{V_b-V_{n'}}{Z_B},\qquad I_c=\frac{V_c-V_{n'}}{Z_C}.
Escrever \mathbf{V}_{abc}=A\,\mathbf{V}_{012} e \mathbf{I}_{abc}=A\,\mathbf{I}_{012}.
Substituir as expressões dos I_{a,b,c} em termos de V_a,V_b,V_c e V_{n'}, e usar a transformação para obter equações em \mathbf{V}_{012} e V_{n'}.
Resultado prático (procedimento que se aplica na prova):
Montar as três redes de sequência da linha com Z_0,Z_1,Z_2 já calculadas; a fonte positiva aparece somente na rede 1 com V_1 (que é a tensão de fase do gerador transformada para sequência, aqui V_1 = 7{,}97\\ \mathrm{kV} em módulo e ângulo adequado).
Montar as três “impedâncias de sequência” da carga (isto é, a representação da carga no domínio de sequência). No caso geral com \mathrm{Z}_N, as três redes não ficam completamente desacopladas: a rede zero envolve explicitamente Z_N e as relações entre I_0,I_1,I_2 e V_0,V_1,V_2 surgem da equação de KCL no neutro. Em problemas práticos, monta-se o sistema:\begin{cases} \text{(rede 1)}:\quad V_1 \text{ (fonte) alimenta } Z_1^{\text{linha}} + Z_1^{\text{carga}},\\\ \text{(rede 2)}:\quad 0 \text{ (sem fonte) alimenta } Z_2^{\text{linha}} + Z_2^{\text{carga}},\\\ \text{(rede 0)}:\quad 0 \text{ alimenta } Z_0^{\text{linha}} + Z_0^{\text{carga}} + Z_N^{\text{retorno}}. \end{cases}onde Z_k^{\text{carga}}\] são obtidos a partir das relações mostradas acima (resolver a equação do neutro em sequência).
3. Resolver as três redes (normalmente são equações escalares complexas porque cada rede é série de impedâncias). As redes não ficam totalmente independentes se a condição do neutro relaciona \(V_{n'} com as componentes; então geralmente precisa-se resolver um pequeno sistema linear (tipicamente 3\times3 em V_0,V_1,V_2 ou em I_0,I_1,I_2).
4. Recuperar as correntes e tensões em domínio de fase por \mathbf{I}_{abc}=A\,\mathbf{I}_{012} e \mathbf{V}_{abc}=A\,\mathbf{V}_{012}.
- Observação prática: se as impedâncias de fase fossem todas iguais e o neutro solidamente aterrado (Z_N\to0), então as três redes ficariam totalmente desacopladas e a solução seria direta: cada sequência se resolve independentemente. Aqui, com desequilíbrio e Z_N finito, a sequência zero importa e a equação do neutro realiza o acoplamento — mas ainda assim o cálculo em sequência é muito mais direto do que resolver o sistema fase a fase com matriz 3\times3.
Passo 7
Resumo final do procedimento a executar num problema completo (passos práticos que eu aplicaria na prova):
Calcular \mathrm{Z}_p^{\text{(tot)}} e \mathrm{Z}_M^{\text{(tot)}} multiplicando por 10\\ \mathrm{km} (feito no Passo 5).
Calcular Z_1,Z_2,Z_0 (feito no Passo 5).
Formular as expressões da carga em domínio de fase (correntes em função de V_a,V_b,V_c,V_{n'}).
Transformar para componentes simétricas e obter as impedâncias/relacionamentos de sequência da carga, incluindo a equação do neutro que liga V_{n'} a V_0,V_1,V_2.
Montar as três redes de sequência (colocar a fonte em V_1, fontes nulas em 0 e 2), incluindo as impedâncias de linha Z_0,Z_1,Z_2 e as equivalentes da carga, e então resolver o sistema (normalmente um pequeno sistema linear complex de ordem até 3).
Voltar para domínio de fase com A para obter V_a,V_b,V_c e I_a,I_b,I_c.
Resposta
Método escolhido: análise por componentes simétricas (sequências 0, 1 e 2). Justificativa: a fonte é balanceada (sequência positiva), a linha tem auto e mútuas iguais por fase (o que diagonaliza a matriz de impedância da linha e fornece Z_1=Z_2 e Z_0 facilmente), e embora a carga seja desequilibrada com neutro através de \mathrm{Z}_N (o que exige incluir a rede de sequência zero), o método de componentes simétricas reduz muito a complexidade algébrica em comparação com resolver direto no domínio de fases; as equações do neutro permitem tratar o acoplamento entre sequências quando necessário.