1. Um gerador (sequência positiva) alimenta uma carga trifásica equilibrada. Gerador e carga estão conectados por uma linha de distribuição com impedância 5+j 12 \Omega / \varphi. Se a carga demanda 912 k var a um fator de potência atrasado de 0,766 e a tensão nos seus terminais é 13,8 \mathrm{kV}, use o circuito equivalente da fase a, tomando a tensão da carga nessa fase como a referência, para determinar a tensão \bar{V}_{a b} no gerador, a potência complexa e o fator de potência do gerador. Se a carga está conectada em \Delta, calcule a corrente pela carga entre as fases B e C.
    (Valor 4,0)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Impedância de linha por fase: Z_{\ell}=5+j\,12\\ \Omega/\varphi.
  • A carga balanceada demanda Q_{\text{load}}=912\\ \text{kvar} (reativa) e tem fator de potência atrasado \text{pf}_{\text{load}}=0{,}766.
  • Tensão nos terminais da carga (tensão linha–linha no ponto de carga): V_{LL,\text{load}}=13{,}8\\ \text{kV}.
  • A carga está conectada em \Delta (delta), e o sistema é trifásico equilibrado.
  • Pedido:
    1. Usando o equivalente de uma fase (tomando a tensão da carga na fase a como referência), determinar a tensão \bar V_{ab} no gerador (ou seja, a tensão linha–linha no gerador, em fasor).
    2. Determinar a potência complexa do gerador S_{\text{ger}} e o fator de potência do gerador.
    3. Se a carga está em \Delta, calcular a corrente pela carga entre as fases B e C (ou seja, a corrente do ramo BC do delta).
Observações importantes que vou usar sem perguntar:
  • Sistema balanceado: posso tratar uma fase e depois multiplicar por 3 para potências.
  • Vou tomar a tensão de fase a no ponto da carga (equivalente fase–neutro após conversão delta→estrela) como referência de ângulo 0^\circ.

Passo 2

Calcular a potência aparente total S_{\text{tot}} e a potência ativa P_{\text{tot}} da carga a partir de Q e do fator de potência.
Explicação da fórmula:
  • O fator de potência é \text{pf}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente (atrasado \Rightarrow carga indutiva).
  • A potência reativa total é Q_{\text{tot}}=|S_{\text{tot}}|\sin\varphi. Assim |S_{\text{tot}}|=Q_{\text{tot}}/\sin\varphi.
  • A potência ativa total é P_{\text{tot}}=|S_{\text{tot}}|\cos\varphi.
Cálculo:
\cos\varphi=0{,}766 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}766)\approx 40^\circ.
\sin\varphi=\sin(40^\circ)\approx 0{,}6428.
|S_{\text{tot}}|=\frac{Q_{\text{tot}}}{\sin\varphi}=\frac{912\,000}{0{,}6428}\approx 1{,}418{,}452\\ \text{VA}.
P_{\text{tot}}=|S_{\text{tot}}|\cos\varphi\approx 1{,}418{,}452\cdot0{,}766\approx 1{,}086{,}534\\ \text{W}.
Potência por fase (sistema balanceado):
S_{\text{ph}}=\frac{S_{\text{tot}}}{3}\approx \frac{1{,}418{,}452}{3}\approx 472{,}817{,}3\\ \text{VA}.
O ângulo de S_{\text{ph}} é +\varphi (reativa positiva para carga indutiva):
S_{\text{ph}} \approx 472{,}817\\ \angle 40^\circ\\ \text{VA}.

Passo 3

Encontrar a corrente do ramo BC do delta ( I_{BC}). Fórmula e raciocínio:
Para um ramo do delta (balanceado) vale
S_{\text{ph}} = V_{\text{branch}}\; I_{\text{branch}}^{*},
onde V_{\text{branch}} é a tensão do ramo (linha–linha) aplicada ao ramo do delta e I_{\text{branch}} é a corrente naquele ramo. Daí
I_{\text{branch}}=\frac{S_{\text{ph}}^{*}}{V_{\text{branch}}}.
No nosso caso:
  • A tensão do ramo BC tem magnitude V_{BC}=V_{LL,\text{load}}=13{,}8\\ \text{kV}=13{,}800\\ \text{V}.
  • Tomando a referência com a tensão de fase a com ângulo 0^\circ, a tensão V_{BC} (linha B menos C) tem ângulo -90^\circ (sequência positiva: V_{ab} tem \angle+30^\circ, V_{bc} tem \angle-90^\circ). Vou usar isso para obter o ângulo do divisor.
Aplicando a fórmula:
I_{BC}=\frac{S_{\text{ph}}^{*}}{V_{BC}}=\frac{472{,}817\\ \angle -40^\circ}{13{,}800\\ \angle -90^\circ} =\frac{472{,}817}{13{,}800}\\ \angle(-40^\circ-(-90^\circ)).
Cálculo numérico:
|I_{BC}|\approx\frac{472{,}817}{13{,}800}\approx 34{,}26\\ \text{A}, \quad \angle I_{BC}=50^\circ.
Portanto
I_{BC}\approx 34{,}26\\ \angle 50^\circ\\ \text{A}.
(Interpretação: este é a corrente no ramo entre as fases B e C do delta, com referência de ângulo tomada pela tensão de fase a.)

Passo 4

Converter a carga delta para equivalente estrela (Y) por fase — por que e como.
Motivação didática:
  • Para usar o circuito equivalente “por fase” com impedância de linha por fase somada à impedância de carga por fase, convém trabalhar com uma carga em Y equivalente.
  • Para um delta balanceado com impedância por ramo Z_\Delta, o equivalente Y balanceado tem impedância por fase
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}.
Cálculo de Z_\Delta a partir de S_{\text{ph}} e V_{\text{branch}}:
Z_\Delta=\frac{V_{\text{branch}}^2}{S_{\text{ph}}^{*}}.
Numérico:
V_{\text{branch}}^2=(13{,}800)^2=190{,}440{,}000\\ \text{V}^2.
Z_\Delta=\frac{190{,}440{,}000}{472{,}817\\ \angle -40^\circ} \approx 403{,}06\\ \angle 40^\circ\\ \Omega.
Logo
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}\approx 134{,}35\\ \angle 40^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular:
Z_Y\approx 102{,}93 + j\,86{,}46\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente de linha por fase I_{\ell} (corrente que circula pela linha e pela impedância por fase convertida em Y).
Relação tensão fase no ponto de carga:
V_{\text{ph,load}}=\frac{V_{LL,\text{load}}}{\sqrt{3}}=\frac{13{,}800}{\sqrt{3}}\approx 7{,}970{,}56\\ \text{V}\quad(\text{ângulo }0^\circ).â
Corrente por fase (circuito série: V_{\text{ph,load}} em paralelo com nada; corrente através de Z_Y):
I_{\ell}=\frac{V_{\text{ph,load}}}{Z_Y} =\frac{7{,}970{,}56\\ \angle 0^\circ}{134{,}35\\ \angle 40^\circ} =59{,}33\\ \angle -40^\circ\\ \text{A}.
Checagem (relação delta↔linha):
  • Para delta balanceado, a relação entre corrente de linha e corrente de ramo é |I_{\ell}|=\sqrt{3}\,|I_{\text{branch}}|. Aqui \sqrt{3}\cdot 34{,}26\approx 59{,}36 que bate com o valor acima (pequenas diferenças por arredondamento). Bom sinal de consistência.

Passo 6

Calcular a queda de tensão na linha (por fase) e a tensão de fase no gerador V_{\text{ph,ger}}.
Queda de tensão na linha por fase:
\Delta V_{\ell}=I_{\ell}\,Z_{\ell}.
Cálculo de Z_{\ell} em forma fasorial: |Z_{\ell}|=\sqrt{5^2+12^2}=13\\ \Omega,\\ \angle Z_{\ell}=\arctan(12/5)\approx 67{,}38^\circ.
Produto:
\Delta V_{\ell}=59{,}33\\ \angle -40^\circ \times 13\\ \angle 67{,}38^\circ =771{,}33\\ \angle 27{,}38^\circ\\ \text{V}.
Tensão de fase no gerador (somando fasorialmente a tensão no ponto de carga com a queda):
V_{\text{ph,ger}}=V_{\text{ph,load}}+\Delta V_{\ell}.
Em coordenadas retangulares:
V_{\text{ph,load}}=7{,}970{,}56+ j\,0,
\Delta V_{\ell}=771{,}33(\cos 27{,}38^\circ + j\sin 27{,}38^\circ)\approx 684{,}2 + j\,355{,}6.
V_{\text{ph,ger}}\approx (7{,}970{,}56+684{,}2) + j(0+355{,}6) \approx 8{,}654{,}8 + j\,355{,}6\\ \text{V}.
Módulo e ângulo:
|V_{\text{ph,ger}}|\approx 8{,}666{,}0\\ \text{V},\qquad \angle V_{\text{ph,ger}}\approx 2{,}35^\circ.

Passo 7

Determinar a tensão linha–linha no gerador \bar V_{ab}.
Relação entre tensão de fase e tensão linha–linha para sistema trifásico equilibrado:
\bar V_{ab}=\sqrt{3}\;V_{\text{ph,ger}}\angle 30^\circ
(derivação curta: V_{ab}=V_A-V_B=\sqrt{3}V_{\text{ph}}\angle 30^\circ).
Aplicando:
|\bar V_{ab}|=\sqrt{3}\cdot 8{,}666\\ \text{V}\approx 15{,}001\\ \text{V}=15{,}001\\ \text{kV},
\angle \bar V_{ab}=2{,}35^\circ + 30^\circ = 32{,}35^\circ.
Portanto
\bar V_{ab}\approx 15{,}00\\ \text{kV}\\ \angle 32{,}35^\circ.

Passo 8

Calcular a potência complexa do gerador S_{\text{ger}} e o fator de potência do gerador.
Fórmula por fase e total (sistema equilibrado):
S_{\text{ger}}^{\text{(fase)}}=V_{\text{ph,ger}}\;I_{\ell}^{*}, \qquad S_{\text{ger}}=3\,S_{\text{ger}}^{\text{(fase)}}.
Usando os fasores:
  • V_{\text{ph,ger}}=8{,}666\\ \angle 2{,}35^\circ\\ \text{kV} (vou trabalhar em V para consistência com ampères).
  • I_{\ell}=59{,}33\\ \angle -40^\circ\\ \text{A}\Rightarrow I_{\ell}^{*}=59{,}33\\ \angle +40^\circ.
Produto por fase:
S_{\text{ger}}^{\text{(fase)}}=8{,}666\\ \times 59{,}33\\ \angle(2{,}35^\circ+40^\circ)\\ \text{VA} \approx 514{,}031\\ \angle 42{,}35^\circ\\ \text{VA}.
Total:
S_{\text{ger}}=3\cdot 514{,}031\\ \angle 42{,}35^\circ \approx 1{,}542{,}093\\ \angle 42{,}35^\circ\\ \text{VA}.
Converter para forma retangular (potência ativa e reativa):
P_{\text{ger}}=|S_{\text{ger}}|\cos 42{,}35^\circ\approx 1{,}542{,}093\cdot 0{,}7418\approx 1{,}143{,}800\\ \text{W},
Q_{\text{ger}}=|S_{\text{ger}}|\sin 42{,}35^\circ\approx 1{,}542{,}093\cdot 0{,}6707\approx 1{,}033{,}200\\ \text{var}.
Fator de potência do gerador:
\text{pf}_{\text{ger}}=\cos(42{,}35^\circ)\approx 0{,}742\quad\text{(atrasado)}.
Comentário de consistência (checagem rápida):
  • A carga puxa P_{\text{tot}}\approx 1{,}086{,}534\\ \text{W} e Q_{\text{tot}}=912\\ \text{kvar}.
  • O gerador fornece P_{\text{ger}}\approx 1{,}143{,}800\\ \text{W} e Q_{\text{ger}}\approx 1{,}033{,}200\\ \text{var}.
  • A diferença é a perda/consumo reativo e ativo na linha (aprox. 57{,}266\\ \text{W} em perdas ativas e 121{,}200\\ \text{var} em reativo por efeito da reatância/resistência da linha) — isso é esperado e confirma coerência dos cálculos.

Resposta

\bar V_{ab}\approx 15{,}00\\ \text{kV}\\ \angle 32{,}35^\circ
S_{\text{ger}}\approx 1{,}143{,}800\\ \text{W} + j\,1{,}033{,}200\\ \text{var} (ou 1{,}542{,}1\\ \text{kVA}\\ \angle 42{,}35^\circ)
\text{pf}_{\text{ger}}\approx 0{,}742 (atrasado)
I_{BC}\approx 34{,}26\\ \text{A}\\ \angle 50^\circ

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