Um explorador de uma densa floresta na África equatorial deixa a sua cabana. Ele dá 45 passos no sentido nordeste, depois 85 passos em uma direção que forma um ângulo de 60^{\circ} considerando a rotação no sentido do oeste para o norte, a seguir 55 passos diretamente para o sul. Considerando-se que os seus passos têm o mesmo comprimento. A) Ajude-o a evitar se perder na floresta fornecendothe o vetor deslocamento, necessário para que ele retorne para sua cabana. B) Faça uma estimativa do que aconteceria se o explorador muda seu último deslocamento diretamente para o norte, ao em vez do sul.

Passo 1

O enunciado dá um explorador que parte da cabana (que vamos chamar de origem) e faz três deslocamentos com passos todos do mesmo comprimento (cada passo é uma unidade de comprimento). As informações são:
  • Primeiro deslocamento: 45 passos no sentido nordeste.
  • Segundo deslocamento: 85 passos numa direção que forma um ângulo de 60^\circ considerando “a rotação no sentido do oeste para o norte”.
  • Terceiro deslocamento: 55 passos diretamente para o sul.
O que nos pedem:
  • A) Fornecer o vetor deslocamento necessário para que ele retorne para sua cabana (ou seja, o vetor que leva da posição final de volta à origem).
  • B) Estimar o que aconteceria (qual seria o vetor de retorno) se, em vez do terceiro deslocamento para o sul, ele tivesse ido 55 passos para o norte.
Os dados relevantes estão todos acima; a resolução segue a partir daqui.

Passo 2

Escolha de sistema de referência e ideia principal (sem resolver ainda):
  • Vou colocar a cabana na origem do plano cartesiano.
  • Eixo x positivo aponta para o leste; eixo y positivo aponta para o norte.
  • Um vetor de módulo r que forma um ângulo \theta com o eixo x (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo) tem componentes
(r\cos\theta,\; r\sin\theta).
Explicação didática: \cos\theta e \sin\theta dizem quanta parte do comprimento r “vai” para a horizontal (eixo x) e para a vertical (eixo y), respectivamente. Aqui cada “passo” é uma unidade, então o módulo r é o número de passos.

Passo 3

Interpretação das direções em ângulos a usar (muito importante e às vezes confuso):
  • Nordeste significa exatamente no meio entre norte e leste, ou seja, 45^\circ a partir do eixo x (leste) em sentido anti-horário. Então para o primeiro deslocamento usaremos \theta_1 = 45^\circ.
  • A frase “forma um ângulo de 60^\circ considerando a rotação no sentido do oeste para o norte” significa: comece apontando para o oeste (direção 180^\circ a partir do leste) e gire 60^\circ em direção ao norte (isto é, no sentido que leva de 180^\circ para 90^\circ). Portanto o ângulo medido a partir do eixo x positivo (leste) é
\theta_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.
  • Diretamente para o sul corresponde a \theta_3 = 270^\circ (ou, equivalentemente, componente x=0, componente y=-55).

Passo 4

Decomposição do primeiro deslocamento ( 45 passos, \theta_1=45^\circ):
Aplicando (r\cos\theta,\; r\sin\theta) com r=45 e \theta=45^\circ:
\vec{v}_1 = \left(45\cos45^\circ,\; 45\sin45^\circ\right).
Sabendo que \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\vec{v}_1 = \left(\dfrac{45\sqrt{2}}{2},\; \dfrac{45\sqrt{2}}{2}\right).
Valor numérico aproximado (para usar depois): \dfrac{45\sqrt{2}}{2}\approx 31,82.

Passo 5

Decomposição do segundo deslocamento ( 85 passos, \theta_2=120^\circ):
\vec{v}_2 = \left(85\cos120^\circ,\; 85\sin120^\circ\right).
Sabemos que \cos120^\circ = -\dfrac{1}{2} e \sin120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\vec{v}_2 = \left(85\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right),\;85\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\dfrac{85}{2},\; \dfrac{85\sqrt{3}}{2}\right).
Valores numéricos aproximados: -\dfrac{85}{2} = -42,5 e \dfrac{85\sqrt{3}}{2}\approx 73,61.

Passo 6

Decomposição do terceiro deslocamento (caso A: 55 passos para o sul):
Deslocamento para o sul tem componente x=0 e y=-55, então
\vec{v}_3 = (0,\,-55).

Passo 7

Soma vetorial para achar o deslocamento total desde a cabana até a posição final (caso A):
Somamos componente a componente:
\vec{R}=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3.
Com as expressões exatas:
\vec{R}=\left(\dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85}{2},\; \dfrac{45\sqrt{2}}{2}+\dfrac{85\sqrt{3}}{2}-55\right).
Agora valores numéricos (aproximando \sqrt{2}\approx 1,41421356 e \sqrt{3}\approx 1,7320508):
  • Componente x: \dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85}{2}\approx 31,819 - 42,5 = -10,681.
  • Componente y: \dfrac{45\sqrt{2}}{2}+\dfrac{85\sqrt{3}}{2}-55\approx 31,819 + 73,611 - 55 = 50,430.
Assim \vec{R}\approx(-10,681,\;50,430) (em passos): isso é o vetor que leva da cabana até a posição final do explorador.

Passo 8

Vetor necessário para retornar à cabana (caso A):
Para voltar à origem a partir da posição final precisamos do vetor oposto a \vec{R}, isto é -\vec{R}. Em forma exata:
-\vec{R}=\left(\dfrac{85}{2}-\dfrac{45\sqrt{2}}{2},\;55-\dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85\sqrt{3}}{2}\right).
E em aproximação numérica (arredondando para duas casas decimais):
-\vec{R}\approx(10,68,\,-50,43).
Interpretação prática: para retornar ele precisa andar cerca de 10,68 passos para o leste e 50,43 passos para o sul (ou seguir um único percurso cujo vetor seja esse).
Opcional (magnitude e direção): o comprimento desse vetor é aproximadamente
\sqrt{10,681^2+50,430^2}\approx 51,55\\ \text{passos},
e a direção forma um ângulo de aproximadamente -78^\circ em relação ao leste (ou seja, 78^\circ abaixo da direção leste, sentido sul do leste).

Passo 9

Situação B — se o terceiro deslocamento fosse para o norte ( 55 passos para o norte):
Agora \vec{v}_3'=(0,\;55). Mantendo \vec{v}_1 e \vec{v}_2 iguais, o deslocamento total seria
\vec{R}'=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3' = \left(\dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85}{2},\; \dfrac{45\sqrt{2}}{2}+\dfrac{85\sqrt{3}}{2}+55\right).
Numéricamente:
  • Componente x permanece \approx -10,681.
  • Componente y agora é \approx 31,819 + 73,611 + 55 = 160,430.
Portanto \vec{R}'\approx(-10,681,\;160,430).
O vetor de retorno seria -\vec{R}', isto é
-\vec{R}'\approx(10,68,\,-160,43).
Interpretação: se no último movimento ele caminhasse para o norte em vez de sul, ele estaria muito mais distante da cabana no sentido norte (aproximadamente 160,43 passos ao norte), e portanto precisaria andar cerca de 160,43 passos para o sul e 10,68 passos para leste para retornar — muito mais longe do que no caso original.

Resposta

A) \left(\dfrac{85}{2}-\dfrac{45\sqrt{2}}{2},\;55-\dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85\sqrt{3}}{2}\right) passos \approx(10,68,\,-50,43)
B) \left(\dfrac{85}{2}-\dfrac{45\sqrt{2}}{2},\; -\dfrac{45\sqrt{2}}{2}-\dfrac{85\sqrt{3}}{2}-55\right) passos \approx(10,68,\,-160,43)

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