Um explorador de uma densa floresta na África equatorial deixa a sua cabana. Ele dá 45 passos no sentido nordeste, depois 85 passos em uma direção que forma um ângulo de
considerando a rotação no sentido do oeste para o norte, a seguir 55 passos diretamente para o sul. Considerando-se que os seus passos têm o mesmo comprimento. A) Ajude-o a evitar se perder na floresta fornecendothe o vetor deslocamento, necessário para que ele retorne para sua cabana. B) Faça uma estimativa do que aconteceria se o explorador muda seu último deslocamento diretamente para o norte, ao em vez do sul.
Passo 1
O enunciado dá um explorador que parte da cabana (que vamos chamar de origem) e faz três deslocamentos com passos todos do mesmo comprimento (cada passo é uma unidade de comprimento). As informações são:
- Primeiro deslocamento:
passos no sentido nordeste. - Segundo deslocamento:
passos numa direção que forma um ângulo de considerando “a rotação no sentido do oeste para o norte”. - Terceiro deslocamento:
passos diretamente para o sul.
O que nos pedem:
- A) Fornecer o vetor deslocamento necessário para que ele retorne para sua cabana (ou seja, o vetor que leva da posição final de volta à origem).
- B) Estimar o que aconteceria (qual seria o vetor de retorno) se, em vez do terceiro deslocamento para o sul, ele tivesse ido
passos para o norte.
Os dados relevantes estão todos acima; a resolução segue a partir daqui.
Passo 2
Escolha de sistema de referência e ideia principal (sem resolver ainda):
- Vou colocar a cabana na origem do plano cartesiano.
- Eixo
positivo aponta para o leste; eixo positivo aponta para o norte. - Um vetor de módulo
que forma um ângulo com o eixo (medido no sentido anti-horário a partir do eixo positivo) tem componentes
Explicação didática:
e
dizem quanta parte do comprimento
“vai” para a horizontal (eixo
) e para a vertical (eixo
), respectivamente. Aqui cada “passo” é uma unidade, então o módulo
é o número de passos.
Passo 3
Interpretação das direções em ângulos a usar (muito importante e às vezes confuso):
- Nordeste significa exatamente no meio entre norte e leste, ou seja,
a partir do eixo (leste) em sentido anti-horário. Então para o primeiro deslocamento usaremos . - A frase “forma um ângulo de
considerando a rotação no sentido do oeste para o norte” significa: comece apontando para o oeste (direção a partir do leste) e gire em direção ao norte (isto é, no sentido que leva de para ). Portanto o ângulo medido a partir do eixo positivo (leste) é
- Diretamente para o sul corresponde a
(ou, equivalentemente, componente , componente ).
Passo 4
Decomposição do primeiro deslocamento (
passos,
):
Aplicando com
e
:
Aplicando
Sabendo que
, obtemos
Valor numérico aproximado (para usar depois):
.
Passo 5
Decomposição do segundo deslocamento (
passos,
):
Sabemos que
e
. Portanto
Valores numéricos aproximados:
e
.
Passo 6
Decomposição do terceiro deslocamento (caso A:
passos para o sul):
Deslocamento para o sul tem componente e
, então
Deslocamento para o sul tem componente
Passo 7
Soma vetorial para achar o deslocamento total desde a cabana até a posição final (caso A):
Somamos componente a componente:
Somamos componente a componente:
Com as expressões exatas:
Agora valores numéricos (aproximando
e
):
- Componente
: . - Componente
: .
Assim
(em passos): isso é o vetor que leva da cabana até a posição final do explorador.
Passo 8
Vetor necessário para retornar à cabana (caso A):
Para voltar à origem a partir da posição final precisamos do vetor oposto a , isto é
. Em forma exata:
Para voltar à origem a partir da posição final precisamos do vetor oposto a
E em aproximação numérica (arredondando para duas casas decimais):
Interpretação prática: para retornar ele precisa andar cerca de
passos para o leste e
passos para o sul (ou seguir um único percurso cujo vetor seja esse).
Opcional (magnitude e direção): o comprimento desse vetor é aproximadamente
e a direção forma um ângulo de aproximadamente
em relação ao leste (ou seja,
abaixo da direção leste, sentido sul do leste).
Passo 9
Situação B — se o terceiro deslocamento fosse para o norte (
passos para o norte):
Agora . Mantendo
e
iguais, o deslocamento total seria
Agora
Numéricamente:
- Componente
permanece . - Componente
agora é .
Portanto
.
O vetor de retorno seria
, isto é
Interpretação: se no último movimento ele caminhasse para o norte em vez de sul, ele estaria muito mais distante da cabana no sentido norte (aproximadamente
passos ao norte), e portanto precisaria andar cerca de
passos para o sul e
passos para leste para retornar — muito mais longe do que no caso original.
Resposta
A)
passos
B)
passos