Considerando um gás monoatômico, com comportamento ideal, mostre que
. Explique porque tal resultado não se aplica a gases poliatômicos.
Considerando um gás monoatômico, com comportamento ideal, mostre que
. Explique porque tal resultado não se aplica a gases poliatômicos.
Considerando um gás monoatômico, com comportamento ideal, mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para um gás monoatômico ideal,
. - Explicar por que esse resultado não se aplica a gases poliatômicos.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- O gás é monoatômico.
- Comportamento ideal (ou seja, segue as leis dos gases ideais e a energia interna depende só da temperatura).
-
é a constante dos gases ideais (constante universal dos gases).
Passo 2
Definição e ideia básica que vamos usar (sem pular passos):
- Calor específico molar a volume constante,
, é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma mole do gás em unidade, a volume constante. Em fórmula:
- Para processos a volume constante não há trabalho de pressão-volume (
), então a primeira lei da termodinâmica dá:
onde
é a energia interna do gás. Assim, a definição de
passa a ser
Explicação das variáveis:
-
= calor trocado. -
= energia interna do gás. -
= temperatura. -
= volume (constante nesse caso).
Passo 3
Propriedade fundamental do gás ideal monoatômico (intuição física e fórmula):
- Para um gás ideal monoatômico, as partículas só têm energia cinética translacional (não há energia de rotação interna nem de vibração ligado ao átomo isolado).
- Pela teoria cinética dos gases, a energia cinética média por partícula é
onde:
-
é a constante de Boltzmann, - o fator
vem das três direções espaciais ( ): cada direção contribui (isso é parte do princípio da equipartição de energia para graus de liberdade quadráticos).
Comentário didático: pense assim — cada grau de liberdade que aparece quadrático na energia (por exemplo) contribui à energia média por partícula. Num átomo livre em 3D há três componentes de velocidade ( ), logo três contribuições somando .
Passo 4
Passagem da escala por partícula para a escala molar:
- Uma mole de gás contém
partículas, onde é o número de Avogadro. - A constante dos gases
está relacionada com por
- A energia interna molar (energia de uma mole) do gás monoatômico é então:
Explicação das variáveis:
-
= energia interna por mole. -
= número de partículas por mole. -
= constante dos gases.
Passo 5
Energia interna para
moles e relação geral:
- Se temos
moles, a energia interna total é
- Lembra que, para gás ideal,
depende só de (importante para poder usar diretamente).
Passo 6
Cálculo de
:
- Usando a definição
e a expressão :
- Para uma mole (
) isso fica
Comentário prático: este é o resultado pedido. Mostramos passo a passo que partimos da energia cinética média por partícula até chegar na derivada da energia interna em relação à temperatura.
Passo 7
Explicação intuitiva por que esse resultado NÃO vale para gases poliatômicos:
- A razão central é: átomos monoatômicos têm apenas os três graus de liberdade translacionais; moléculas poliatômicas têm graus de liberdade adicionais (rotação e, em geral, vibração).
- Pelo princípio da equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com
por partícula (ou por mole) para a energia interna. Assim, para um gás com graus de liberdade efetivos:
e
- Para um monoatômico
e obtemos . Para um gás diatômico clássico simples (em temperaturas onde rotações ativas e vibrações desprezíveis), temos (3 translação + 2 rotação), resultando em . - Para moléculas mais complexas (não lineares), rotacionalmente há 3 graus de liberdade, e somando vibrações pode-se chegar a
ainda maior, aumentando .
Passo 8
Observação importante sobre vibrações e dependência com a temperatura (por que às vezes
experimental não bate com a conta clássica):
- Modos vibracionais têm níveis de energia quantizados; a equipartição clássica só vale se
for grande em relação à diferença entre níveis vibracionais. Em temperaturas moderadas/baixas, modos vibracionais podem ficar “congelados” (não excitados), então não contribuem com cada um. Isso faz com que o efetivo varie com a temperatura. - Portanto, além de haver mais graus de liberdade em poliatômicos, alguns desses graus podem não participar dependendo da temperatura — outra razão pela qual o resultado monoatômico
não se aplica a gases poliatômicos de forma geral.
Passo 9
Resumo final do raciocínio (passos-chave compactos):
- Monoatômico → só translação → 3 graus → energia média por partícula
. - Uma mole →
. -
. - Para poliatômicos
(rotacionais e vibracionais entram), logo , e vibrações podem estar quânticamente “congeladas” a temperaturas baixas, alterando o valor observado.
Resposta
Não se aplica a gases poliatômicos porque eles têm mais graus de liberdade (rotação e vibração) que aumentam a energia interna por mole para