Considerando um gás monoatômico, com comportamento ideal, mostre que C_{V}=\frac{3}{2} R. Explique porque tal resultado não se aplica a gases poliatômicos.
Considerando um gás monoatômico, com comportamento ideal, mostre que C_{V}=\frac{3}{2} R. Explique porque tal resultado não se aplica a gases poliatômicos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que, para um gás monoatômico ideal, C_{V}=\dfrac{3}{2}R.
  2. Explicar por que esse resultado não se aplica a gases poliatômicos.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • O gás é monoatômico.
  • Comportamento ideal (ou seja, segue as leis dos gases ideais e a energia interna depende só da temperatura).
  • R é a constante dos gases ideais (constante universal dos gases).

Passo 2

Definição e ideia básica que vamos usar (sem pular passos):
  • Calor específico molar a volume constante, C_{V}, é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma mole do gás em 1 unidade, a volume constante. Em fórmula:
C_{V}=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V}.
  • Para processos a volume constante não há trabalho de pressão-volume ( W=0), então a primeira lei da termodinâmica dá:
\Delta Q=\Delta U,
onde U é a energia interna do gás. Assim, a definição de C_{V} passa a ser
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}.
Explicação das variáveis:
  • Q = calor trocado.
  • U = energia interna do gás.
  • T = temperatura.
  • V = volume (constante nesse caso).

Passo 3

Propriedade fundamental do gás ideal monoatômico (intuição física e fórmula):
  • Para um gás ideal monoatômico, as partículas só têm energia cinética translacional (não há energia de rotação interna nem de vibração ligado ao átomo isolado).
  • Pela teoria cinética dos gases, a energia cinética média por partícula é
\langle E_{\text{trans}}\rangle=\tfrac{3}{2}k_{B}T,
onde:
  • k_{B} é a constante de Boltzmann,
  • o fator 3/2 vem das três direções espaciais ( x,y,z): cada direção contribui \tfrac{1}{2}k_{B}T (isso é parte do princípio da equipartição de energia para graus de liberdade quadráticos).
    Comentário didático: pense assim — cada grau de liberdade que aparece quadrático na energia (por exemplo \tfrac{1}{2}m v_x^2) contribui \tfrac{1}{2}k_B T à energia média por partícula. Num átomo livre em 3D há três componentes de velocidade ( v_x,v_y,v_z), logo três contribuições \tfrac{1}{2}k_B T somando \tfrac{3}{2}k_B T.

Passo 4

Passagem da escala por partícula para a escala molar:
  • Uma mole de gás contém N_{A} partículas, onde N_{A} é o número de Avogadro.
  • A constante dos gases R está relacionada com k_{B} por
R = N_{A} k_{B}.
  • A energia interna molar (energia de uma mole) do gás monoatômico é então:
U_{\text{molar}} = N_{A}\langle E_{\text{trans}}\rangle = N_{A}\cdot \tfrac{3}{2}k_{B}T = \tfrac{3}{2}R T.
Explicação das variáveis:
  • U_{\text{molar}} = energia interna por mole.
  • N_{A} = número de partículas por mole.
  • R = constante dos gases.

Passo 5

Energia interna para n moles e relação geral:
  • Se temos n moles, a energia interna total é
U = n\cdot U_{\text{molar}} = n\cdot \tfrac{3}{2}R T = \tfrac{3}{2}nRT.
  • Lembra que, para gás ideal, U depende só de T (importante para poder usar \partial U/\partial T diretamente).

Passo 6

Cálculo de C_{V}:
  • Usando a definição C_{V}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} e a expressão U=\tfrac{3}{2}nRT:
C_{V}=\frac{\partial}{\partial T}\left(\tfrac{3}{2}nRT\right)=\tfrac{3}{2}nR.
  • Para uma mole ( n=1) isso fica
C_{V}=\tfrac{3}{2}R.
Comentário prático: este é o resultado pedido. Mostramos passo a passo que partimos da energia cinética média por partícula até chegar na derivada da energia interna em relação à temperatura.

Passo 7

Explicação intuitiva por que esse resultado NÃO vale para gases poliatômicos:
  • A razão central é: átomos monoatômicos têm apenas os três graus de liberdade translacionais; moléculas poliatômicas têm graus de liberdade adicionais (rotação e, em geral, vibração).
  • Pelo princípio da equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_{B}T por partícula (ou \tfrac{1}{2}R T por mole) para a energia interna. Assim, para um gás com f graus de liberdade efetivos:
U_{\text{molar}}=\tfrac{f}{2}RT
e
C_{V}=\tfrac{f}{2}R.
  • Para um monoatômico f=3 e obtemos \tfrac{3}{2}R. Para um gás diatômico clássico simples (em temperaturas onde rotações ativas e vibrações desprezíveis), temos f=5 (3 translação + 2 rotação), resultando em C_{V}=\tfrac{5}{2}R.
  • Para moléculas mais complexas (não lineares), rotacionalmente há 3 graus de liberdade, e somando vibrações pode-se chegar a f ainda maior, aumentando C_{V}.

Passo 8

Observação importante sobre vibrações e dependência com a temperatura (por que às vezes C_{V} experimental não bate com a conta clássica):
  • Modos vibracionais têm níveis de energia quantizados; a equipartição clássica só vale se k_{B}T for grande em relação à diferença entre níveis vibracionais. Em temperaturas moderadas/baixas, modos vibracionais podem ficar “congelados” (não excitados), então não contribuem com \tfrac{1}{2}k_{B}T cada um. Isso faz com que o C_{V} efetivo varie com a temperatura.
  • Portanto, além de haver mais graus de liberdade em poliatômicos, alguns desses graus podem não participar dependendo da temperatura — outra razão pela qual o resultado monoatômico \tfrac{3}{2}R não se aplica a gases poliatômicos de forma geral.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (passos-chave compactos):
  • Monoatômico → só translação → 3 graus → energia média por partícula \tfrac{3}{2}k_{B}T.
  • Uma mole → U_{\text{molar}}=\tfrac{3}{2}R T.
  • C_{V}=(\partial U/\partial T)_{V}=\tfrac{3}{2}R.
  • Para poliatômicos f>3 (rotacionais e vibracionais entram), logo C_{V}=\tfrac{f}{2}R, e vibrações podem estar quânticamente “congeladas” a temperaturas baixas, alterando o valor observado.

Resposta

C_{V}=\dfrac{3}{2}R
Não se aplica a gases poliatômicos porque eles têm mais graus de liberdade (rotação e vibração) que aumentam a energia interna por mole para \dfrac{f}{2}RT, dando C_{V}=\dfrac{f}{2}R com f>3; além disso, modos vibracionais podem não contribuir a baixas temperaturas por efeitos quânticos.

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