O método desenvolvido no problema anterior tem a desvantagem de que você precisa saber a velocidade inicial
, o que na prática nem sempre é viável. Um método alternativo consiste em lançar uma pedra para cima e medir os dois instantes de tempo
(quando a pedra está subindo) e
(quando a pedra está descendo) pelos quais a pedra passa por uma certa altura
em relação ao solo. Neste caso, qual a relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma relação que envolva
,
,
e
, sabendo que:
- uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo no instante
; -
é o instante (após o lançamento) em que a pedra passa pela altura enquanto está subindo; -
é o instante (após o lançamento) em que a pedra passa novamente pela mesma altura enquanto está descendo; -
é a aceleração da gravidade (módulo) no local; - não sabemos a velocidade inicial
.
O que precisamos: uma fórmula que relacione
,
,
e
, eliminando
.
Passo 2
Vamos escrever a equação do movimento vertical com aceleração constante (modelo padrão de cinemática). Para movimento vertical com origem no solo e sentido positivo para cima, a posição
em função do tempo é dada por
Explicando a fórmula:
-
é a velocidade inicial (no instante ), tomada positiva para cima; -
é a aceleração da gravidade (positivo aqui representa o módulo; na fórmula aparece com sinal negativo porque aceleração é para baixo); - o termo
representa o deslocamento devido à velocidade inicial; - o termo
é a contribuição do efeito da aceleração (freia a subida e acelera a descida).
Essa fórmula pode ser obtida integrando a aceleração constanteduas vezes, mas não precisamos repetir essa derivação aqui além de entender o significado de cada termo.
Passo 3
Como a pedra passa pela mesma altura
em dois instantes distintos
(subindo) e
(descendo), cada um desses instantes satisfaz a equação da posição. Portanto escrevemos as duas equações:
Observação: ambas as equações valem porque a posição num dado instante é única — a mesma altura
foi atingida duas vezes.
Passo 4
Subtraímos as duas equações para eliminar
. Fazendo
temos
Agora fatoramos
usando a identidade
:
Como
(são instantes distintos), podemos dividir por
e obter
Interpretação física simples: a velocidade inicial é proporcional à soma dos dois instantes — isso faz sentido porque o tempo total até atingir a altura máxima aparece relacionado a
.
Passo 5
Agora substituímos essa expressão de
de volta em uma das equações de posição (por exemplo, na que usa
) para eliminar
. Usando
e substituindo
, obtemos
Colocando
em evidência:
Simplificando o parêntese:
Logo
Passo 6
Isolando
na expressão anterior temos a relação desejada:
Interpretação prática: medindo os dois tempos em que a pedra passa pela mesma altura, você não precisa conhecer
para determinar
; basta conhecer
e os instantes
e
. É uma fórmula simples e muito usada em experimentos de laboratório.