O método desenvolvido no problema anterior tem a desvantagem de que você precisa saber a velocidade inicial v_{0}, o que na prática nem sempre é viável. Um método alternativo consiste em lançar uma pedra para cima e medir os dois instantes de tempo t_{1} (quando a pedra está subindo) e t_{2} (quando a pedra está descendo) pelos quais a pedra passa por uma certa altura z em relação ao solo. Neste caso, qual a relação entre g_{p}, z, t_{1} e t_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma relação que envolva \,g_{p}\,, \,z\,, \,t_{1}\, e \,t_{2}\,, sabendo que:
  • uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo no instante \,t=0\,;
  • \,t_{1}\, é o instante (após o lançamento) em que a pedra passa pela altura \,z\, enquanto está subindo;
  • \,t_{2}\, é o instante (após o lançamento) em que a pedra passa novamente pela mesma altura \,z\, enquanto está descendo;
  • \,g_{p}\, é a aceleração da gravidade (módulo) no local;
  • não sabemos a velocidade inicial \,v_{0}\,.
O que precisamos: uma fórmula que relacione \,g_{p}\,, \,z\,, \,t_{1}\, e \,t_{2}\,, eliminando \,v_{0}\,.

Passo 2

Vamos escrever a equação do movimento vertical com aceleração constante (modelo padrão de cinemática). Para movimento vertical com origem no solo e sentido positivo para cima, a posição \,z(t)\, em função do tempo é dada por
z(t)=v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g_{p}\,t^{2}.
Explicando a fórmula:
  • \,v_{0}\, é a velocidade inicial (no instante \,t=0), tomada positiva para cima;
  • \,g_{p}\, é a aceleração da gravidade (positivo aqui representa o módulo; na fórmula aparece com sinal negativo porque aceleração é para baixo);
  • o termo \,v_{0}t\, representa o deslocamento devido à velocidade inicial;
  • o termo \,\tfrac{1}{2}g_{p}t^{2}\, é a contribuição do efeito da aceleração (freia a subida e acelera a descida).
    Essa fórmula pode ser obtida integrando a aceleração constante -g_{p} duas vezes, mas não precisamos repetir essa derivação aqui além de entender o significado de cada termo.

Passo 3

Como a pedra passa pela mesma altura \,z\, em dois instantes distintos \,t_{1}\, (subindo) e \,t_{2}\, (descendo), cada um desses instantes satisfaz a equação da posição. Portanto escrevemos as duas equações:
z=v_{0}\,t_{1}-\tfrac{1}{2}g_{p}\,t_{1}^{2},
z=v_{0}\,t_{2}-\tfrac{1}{2}g_{p}\,t_{2}^{2}.
Observação: ambas as equações valem porque a posição num dado instante é única — a mesma altura \,z\, foi atingida duas vezes.

Passo 4

Subtraímos as duas equações para eliminar z. Fazendo \,( \text{primeira} ) - ( \text{segunda} ) temos
0 = v_{0}(t_{1}-t_{2}) - \tfrac{1}{2}g_{p}\,(t_{1}^{2}-t_{2}^{2}).
Agora fatoramos t_{1}^{2}-t_{2}^{2} usando a identidade \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,:
0 = (t_{1}-t_{2})\Big(v_{0} - \tfrac{1}{2}g_{p}(t_{1}+t_{2})\Big).
Como t_{1}\neq t_{2} (são instantes distintos), podemos dividir por (t_{1}-t_{2}) e obter
v_{0} = \tfrac{1}{2}g_{p}\,(t_{1}+t_{2}).
Interpretação física simples: a velocidade inicial é proporcional à soma dos dois instantes — isso faz sentido porque o tempo total até atingir a altura máxima aparece relacionado a \,t_{1}+t_{2}\,.

Passo 5

Agora substituímos essa expressão de \,v_{0}\, de volta em uma das equações de posição (por exemplo, na que usa \,t_{1}\,) para eliminar \,v_{0}\,. Usando
z = v_{0}\,t_{1}-\tfrac{1}{2}g_{p}\,t_{1}^{2}
e substituindo v_{0}=\tfrac{1}{2}g_{p}(t_{1}+t_{2}), obtemos
z = \tfrac{1}{2}g_{p}(t_{1}+t_{2})\,t_{1} - \tfrac{1}{2}g_{p}\,t_{1}^{2}.
Colocando \tfrac{1}{2}g_{p} em evidência:
z = \tfrac{1}{2}g_{p}\big( (t_{1}+t_{2})t_{1} - t_{1}^{2} \big).
Simplificando o parêntese:
(t_{1}+t_{2})t_{1} - t_{1}^{2} = t_{1}t_{2}.
Logo
z = \tfrac{1}{2}g_{p}\,t_{1}t_{2}.

Passo 6

Isolando \,g_{p}\, na expressão anterior temos a relação desejada:
g_{p} = \frac{2\,z}{t_{1}t_{2}}.
Interpretação prática: medindo os dois tempos em que a pedra passa pela mesma altura, você não precisa conhecer \,v_{0}\, para determinar \,g_{p}\,; basta conhecer \,z\, e os instantes \,t_{1}\, e \,t_{2}\,. É uma fórmula simples e muito usada em experimentos de laboratório.

Resposta

g_{p}=\frac{2\,z}{t_{1}t_{2}}

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