Explosão na fábrica de chocolate. Uma tubulação por onde passava chocolate em pó explodiu. Um perito apresentou a seguinte explicação para o fato: o chocolate em pó acaba adquirindo uma carga elétrica por atrito enquanto se move ao longo da tubulação. Se esta carga é alta o suficiente para que o campo elétrico produzido por ela supere a rigidez dielétrica do ar
, surge uma faisca que leva a explosão, já que chocolate em pó é altamente inflamável. Considerando então que o chocolate em pó pode ser trata e omo uma densidade volumétrica uniforme de carga
na forma de um cilindro, calcule o raio máximo que esta tubulação poderia ter para que não haja risco de uma explosão como a relatada acima, em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede o raio máximo da tubulação (ou seja, o maior valor possível de
) para que o campo elétrico produzido pela carga volumétrica do chocolate em pó não ultrapasse a rigidez dielétrica do ar
(caso contrário surge uma faísca).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A geometria a considerar é a de um cilindro (a tubulação preenchida por pó carregado) com raio
e carga distribuída uniformemente no volume.
Passo 2
Vamos assumir que a tubulação é longa o suficiente para desprezar efeitos de borda (aproximação de cilindro infinitamente longo). Isso é razoável em tubos longos: o campo perto da superfície lateral é bem aproximado pelo caso infinito. Com essa simetria cilíndrica, o campo elétrico
será radial (apontando para fora ou para dentro) e depende só da distância radial
ao eixo.
Passo 3
A ferramenta correta é a Lei de Gauss. Escrevendo ela:
onde
é a permissividade do vácuo (constante:
), e
é a carga total contida dentro da superfície gaussiana escolhida. Vou explicar cada termo:
é o fluxo elétrico através da superfície fechada;
é o campo elétrico e
é o elemento de área com direção normal à superfície.
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o distribuidor de carga, de raio
(com
) e comprimento
. Por simetria:
-
é radial e tem mesma intensidade sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano; - o fluxo pelas tampas (as faces planas) é zero porque
é perpendicular a essas tampas (campo radial) e a área das tampas tem normal paralela ao eixo, logo nas tampas.
Passo 5
Calculemos a carga contida no cilindro de raio
e comprimento
. Como a densidade volumétrica é uniforme
, a carga encerrada é:
Expliquei:
é o volume do cilindro de raio
e altura
.
Passo 6
Calculemos o fluxo através da superfície lateral: a área da superfície lateral é
e o campo tem magnitude
e é constante nessa superfície. Então
Isso usa que o único contributo é da lateral.
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Agora isolamos
. Primeiro podemos simplificar
em ambos os lados:
Dividindo por
(para
) obtemos
Interpretação: dentro de um cilindro uniformemente carregado, o campo cresce linearmente com
.
Passo 8
No ponto que nos interessa, a superfície interna da tubulação (ou a região do pó junto à parede) está em
. Logo o campo na superfície é
Para não haver faísca devemos exigir que esse campo não exceda
:
Isolando
:
Portanto o raio máximo permitido (limite seguro) é
Passo 9
Checagem rápida das unidades:
,
e
. O quociente dá metros, ok. Observações físicas importantes (pra prova e pra cabeça tranquila):
- usamos o modelo de cilindro longo (desprezamos bordas). Em tubos curtos ou com tampas condutoras próximas, o campo real pode ser diferente.
- assumimos distribuição volumétrica uniforme
. Se a carga se concentrar perto da parede o campo máximo pode ser maior. - a presença de um condutor aterrando a tubulação muda completamente as condições (campo externo menor).
Mas para o objetivo do enunciado a expressão acima é a resposta pedida.