Expreesse cada função abaixo como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o raio e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x}{x^{2}-3 x+2};

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=\frac{x}{x^{2}-3x+2}
como uma série de potências em torno de x=0, usando frações parciais, e determinar o raio e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais e expansão em séries geométricas.

Passo 2

Fazemos frações parciais em
\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando por (x-1)(x-2)\), obtemos \[x = A(x-2)+B(x-1) = (A+B)\,x - (2A+B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ -2A - B=0, \end{cases}
logo A=-1\] e \(B=2. Assim
f(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2}.

Passo 3

Expandimos cada termo em série geométrica válida para \lvert x\rvert<1.
Para -1/(x-1):
-\frac{1}{x-1} = \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Para 2/(x-2):
\frac{2}{x-2} = -\frac{2}{2}\,\frac{1}{1-\tfrac{x}{2}} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}}.

Passo 4

Somando as duas séries:
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} \;-\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(1-2^{-n}\Bigr)\,x^{n}.

Passo 5

Cada série geométrica converge para \lvert x\rvert<1 (o segundo termo teria raio 2, mas o mínimo domina). Assim o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é -1<x<1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(1-2^{-n}\bigr)\,x^{n}.
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é -1<x<1.

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