Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\left\{\frac{4 n-3}{3 n+4}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_n = \frac{4n - 3}{3n + 4}
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar
\lim_{n \to \infty} a_n.
O conteúdo é limite de sequência definida por quociente de polinômios em n.

Passo 2

Para encontrar
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4n-3}{3n+4}
é comum dividir numerador e denominador por n, o maior grau em n. Assim:
\frac{4n-3}{3n+4} = \frac{n\bigl(4 - \frac{3}{n}\bigr)}{n\bigl(3 + \frac{4}{n}\bigr)} = \frac{4 - \frac{3}{n}}{3 + \frac{4}{n}}.
Quando n\to\infty, temos \frac{3}{n}\to 0 e \frac{4}{n}\to 0. Então
\lim_{n\to\infty} \frac{4 - \tfrac{3}{n}}{3 + \tfrac{4}{n}} = \frac{4 - 0}{3 + 0} = \frac{4}{3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{4n-3}{3n+4} = \frac{4}{3}.

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