Expreesse as seguintes matrizes como combinações lineares de A= [cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3] e C=[ll0 & 2 1 & 4] ?
[cc-1 & 5 7 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
M = -1 & 5 [6pt]7 & 1
como combinação linear de
A = 4 & 0 [3pt]-2 & -2, B = 1 & -1 [3pt]2 & 3, C = 0 & 2 [3pt]1 & 4
Ou seja, queremos achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A + beta B + gamma C ;=; M ]

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
alpha4 & 0 -2 & -2 + beta1 & -1 2 & 3 + gamma0 & 2 1 & 4 = -1 & 5 7 & 1

Passo 3

Comparando cada posição, o sistema de equações é
4alpha + beta = -1, -beta + 2gamma = 5, -2alpha + 2beta + gamma = 7, -2alpha + 3beta + 4gamma = 1

Passo 4

Das duas primeiras equações expressamos beta e gamma em função de alpha:
beta = -1 - 4alpha, 2gamma = 5 + beta ;Longrightarrow;gamma = 2 - 2alpha
Substituindo na terceira equação,
-2alpha + 2(-1 -4alpha) + (2 -2alpha) = 7 ;Longrightarrow; -12alpha = 7 ;Longrightarrow; alpha = -tfrac712

Passo 5

Com alpha = -tfrac712 vem
beta = -1 -4l(-tfrac712r) = tfrac43, gamma = 2 -2l(-tfrac712r) = tfrac196

Passo 6

Agora testamos esses valores na quarta equação:
-2alpha + 3beta + 4gamma = -2l(-tfrac712r) +3l(tfrac43r) +4l(tfrac196r) = tfrac1076neq 1
Isso mostra que não há alpha,beta,gamma satisfazendo todas as quatro igualdades ao mesmo tempo.

Resposta

Não é possível expressar -1 & 5 [3pt]7 & 1 como combinação linear de A, B e C, pois o sistema resultante é inconsistente.]

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