Determine a forma canônica de Jordan para cada operador linear T (ou matriz A ) indicado(a) abaixo.
T: R^4 R^4 é definido por T(x, y, z, w)=(0, x+w, x+w,-y+z).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan do operador linear TcolonR^4toR^4 definido por
T(x,y,z,w) = (0,;x+w,;x+w,;-y+z)
O conteúdo é forma de Jordan: vamos achar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, mostrar que é nilpotente e usar as dimensões dos núcleos de A^k para determinar os tamanhos dos blocos.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, temos
T(e1) = (0,1,1,0), T(e2) = (0,0,0,-1), T(e3) = (0,0,0,1), T(e4) = (0,1,1,0)
Logo a matriz de T é
A = 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0

Passo 3

O polinômio característico vem de det(lambda I - A). Como a primeira linha de A é zero, temos
chiA(lambda)=lambdadet lambda & 0 & -1 0 & lambda & -1 1 & -1 & lambda =lambdal(lambda^3r) =lambda^4
Assim todos os autovalores são zero e A é nilpotente.

Passo 4

Para achar os tamanhos dos blocos de Jordan, calculamos as nulidades de A^k:
  • dimker A = 2 (resolvendo Av=0 dá dois graus de liberdade),
  • dimker A^2 = 3,
  • dimker A^3 = 4 e A^3=0.
    O número de blocos é dimker A=2.
    O número de blocos de ordem >=2 é dimker A^2-dimker A=1.
    O número de blocos de ordem >=3 é dimker A^3-dimker A^2=1.

Passo 5

Da contagem de blocos de ordem >= k segue que há exatamente um bloco de tamanho 3 e um bloco de tamanho 1, ambos com autovalor zero.

Resposta

A forma canônica de Jordan de T é
J = J3(0)oplus J1(0) = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
onde o bloco J3(0) é nilpotente de ordem 3 e o bloco J1(0) é (0).

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