Determine a forma canônica de Jordan para cada operador linear (ou matriz ) indicado(a) abaixo. é definido por .
Passo 1
O enunciado pede a forma canônica de Jordan do operador linear definido por
O conteúdo é forma de Jordan: vamos achar a matriz de na base canônica, calcular o polinômio característico, mostrar que é nilpotente e usar as dimensões dos núcleos de para determinar os tamanhos dos blocos.
Passo 2
Na base canônica , temos
Logo a matriz de é
Passo 3
O polinômio característico vem de det(lambda I - A). Como a primeira linha de A é zero, temos
Assim todos os autovalores são zero e A é nilpotente.
Passo 4
Para achar os tamanhos dos blocos de Jordan, calculamos as nulidades de A^k:
dimker A = 2 (resolvendo Av=0 dá dois graus de liberdade),
dimker A^2 = 3,
dimker A^3 = 4 e A^3=0.
O número de blocos é dimker A=2.
O número de blocos de ordem >=2 é dimker A^2-dimker A=1.
O número de blocos de ordem >=3 é dimker A^3-dimker A^2=1.
Passo 5
Da contagem de blocos de ordem >= k segue que há exatamente um bloco de tamanho 3 e um bloco de tamanho 1, ambos com autovalor zero.