Determine a forma canônica de Jordan para cada operador linear T (ou matriz A ) indicado(a) abaixo.
T: R^5 R^5 cuja matriz em relação à base canônica de R^5 é [T]beta=(ccccc2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1).

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de Jordan de um operador T:R^5toR^5 cuja matriz em base canônica é
A=[T]beta = 2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1
Para construir a forma de Jordan, vamos (i) calcular o polinômio característico, (ii) achar as multiplicidades algébricas dos autovalores, (iii) determinar as dimensões dos respectivos autoespaços, e (iv) montar os blocos de Jordan.

Passo 2

Calculando det(A-lambda I) obtemos, por expansão adequada,
det(A-lambda I)=(2-lambda)^2,(1-lambda)^3
Logo os autovalores são lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para lambda=2 resolvemos
(A-2I)x=0, A-2I= 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1& 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1& 0 1 & 0 & 1 & 0 & -1
As equações dão x3=0, x4=0 e x1=x5, com x2,x5 livres. Daí o autoespaço de lambda=2 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica, logo temos dois blocos de Jordan de tamanho 1 para lambda=2.

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos
(A-I)x=0, A-I= 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 0
As equações dão x2=0, x1+x4=0, x1+x3=0. Assim x4 e x5 são livres, com x1=-x4, x3=x4. O autoespaço de lambda=1 tem dimensão 2, menor que a multiplicidade algébrica 3. Logo há um bloco de Jordan de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1 para lambda=1.

Passo 5

Reunindo os resultados:
  • Para lambda=2: dois blocos J1(2).
  • Para lambda=1: um bloco J2(1) e um bloco J1(1).

Resposta

A forma canônica de Jordan de A é a matriz de blocos diagonais
J=diagl(J1(2),,J1(2),,J2(1),,J1(1)r)
onde
J1(2)=(2), J2(1)=1&10&1, J1(1)=(1)

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