Expreesse d yd x em termos de x e de y, onde y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
y+(x^2+y^2)=4

Passo 1

O enunciado apresenta a relação implícita
y + l(x^2 + y^2r) = 4
e pede para encontrar dydx em termos de x e y.
O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando que ddx[y]=y' e a regra da cadeia para funções de y.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. Para cada termo:
ddx[y]=y'
ddx[x^2]=2x
ddx[y^2]=2y,y' (regra da cadeia)
ddx[4]=0.

Passo 3

Substituindo na derivada, obtemos
y' + 2x + 2y,y' = 0

Passo 4

Agrupamos os termos com y':
y' + 2y,y' = -2x Longrightarrow y'(1 + 2y) = -2x

Passo 5

Isolamos y', que é dydx:
dydx = y' = -2x1 + 2y

Resposta

dydx = -2x2y + 1

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