Calcule a derivada das seguintes funções:
y=(1+e^x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(1 + e^xr)^x^2
Aqui temos uma função elevada a outra função, ou seja, da forma u(x)^v(x). Para isso, vamos usar diferenciação logarítmica: tirar o logaritmo de ambos os lados e depois derivar.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = x^2,lnl(1 + e^xr)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, ddx(ln y)=y'y. No direito, usamos a regra do produto em x^2cdotln(1+e^x):
y'y = ddxl(x^2r),lnl(1+e^xr) + x^2,ddx!l[lnl(1+e^xr)r]
Como ddx(x^2)=2x e ddxl[ln(1+e^x)r]=e^x1+e^x, vem
y'y = 2x,lnl(1+e^xr) + x^2,e^x1+e^x

Passo 4

Isolando y' e voltando a substituir y=(1+e^x)^x^2, obtemos
y' = y ,l(2x,ln(1+e^x) + x^2,e^x1+e^xr) = (1+e^x)^x^2 l(2x,ln(1+e^x) + x^2e^x1+e^xr)

Resposta

y' = (1+e^x)^x^2 l(2x,ln(1+e^x) + tfracx^2e^x1+e^xr)

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