Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O enunciado pede que se escreva o vetor
como soma de um vetor paralelo a
e um vetor ortogonal a
. Dados fornecidos:
As perguntas implícitas são:
- encontrar o componente de
paralelo a ; - encontrar o componente de
ortogonal a ; - escrever
como soma desses dois componentes.
Passo 2
Vamos representar a decomposição. Denotando por
a componente de
paralela a
e por
a componente ortogonal, deve valer
com
paralelo a
(logo
para algum escalar
) e
ortogonal a
(logo
). A partir dessas propriedades vamos determinar
.
Passo 3
Explicando a fórmula que vamos usar (passo a passo e sem pular):
- Produto escalar: para
e ,
- Se
, impondo que seja ortogonal a , tem-se
Desenvolvendo:
Essa é a razão escalar que multiplica
para obter a projeção de
sobre
. Agora computamos passo a passo os produtos escalares numéricos.
Passo 4
Calcular
. Primeiro escrevemos as coordenadas:
Aplicando o produto escalar:
Agora calculamos cada termo:
Somando:
Passo 5
Calcular
(que é o quadrado da norma de
):
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 6
Determinar o escalar
:
Passo 7
Calcular a componente paralela:
Substituindo
:
Repare que
é exatamente igual a
.
Passo 8
Calcular a componente ortogonal:
isto é, o vetor nulo. Verificação de ortogonalidade (opcional, só para confirmar):
logo
é ortogonal a
.
Passo 9
Interpretação final e motivação: isso significa que
já era paralelo a
; a projeção de
sobre
recupera
inteiro e a parte ortogonal é nula. Em provas, quando o escalar
resultar em
, sempre espere a componente ortogonal ser
.