Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=4 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+6 \mathbf{k}, \mathbf{b}=-2 \mathbf{i}+\mathbf{j}-3 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede que se escreva o vetor \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e um vetor ortogonal a \mathbf{b}. Dados fornecidos:
\mathbf{v}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}+6\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}-3\mathbf{k}.
As perguntas implícitas são:
  • encontrar o componente de \mathbf{v} paralelo a \mathbf{b};
  • encontrar o componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b};
  • escrever \mathbf{v} como soma desses dois componentes.

Passo 2

Vamos representar a decomposição. Denotando por \mathbf{v}_{\parallel} a componente de \mathbf{v} paralela a \mathbf{b} e por \mathbf{v}_{\perp} a componente ortogonal, deve valer
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp},
com \mathbf{v}_{\parallel} paralelo a \mathbf{b} (logo \mathbf{v}_{\parallel}=\alpha\mathbf{b} para algum escalar \alpha) e \mathbf{v}_{\perp} ortogonal a \mathbf{b} (logo \mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=0). A partir dessas propriedades vamos determinar \alpha.

Passo 3

Explicando a fórmula que vamos usar (passo a passo e sem pular):
  • Produto escalar: para \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3) e \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3),
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Se \mathbf{v}_{\parallel}=\alpha\mathbf{b}, impondo que \mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}=\mathbf{v}_{\perp} seja ortogonal a \mathbf{b}, tem-se
(\mathbf{v}-\alpha\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0.
Desenvolvendo:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}-\alpha(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}.
Essa é a razão escalar que multiplica \mathbf{b} para obter a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}. Agora computamos passo a passo os produtos escalares numéricos.

Passo 4

Calcular \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}. Primeiro escrevemos as coordenadas:
\mathbf{v}=(4,-2,6),\qquad \mathbf{b}=(-2,1,-3).
Aplicando o produto escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=4\cdot(-2)+(-2)\cdot1+6\cdot(-3).
Agora calculamos cada termo:
4\cdot(-2)=-8,\qquad (-2)\cdot1=-2,\qquad 6\cdot(-3)=-18.
Somando:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=-8-2-18=-28.

Passo 5

Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} (que é o quadrado da norma de \mathbf{b}):
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=(-2)^2+1^2+(-3)^2.
Calculando cada termo:
(-2)^2=4,\qquad 1^2=1,\qquad (-3)^2=9.
Somando:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=4+1+9=14.

Passo 6

Determinar o escalar \alpha:
\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\frac{-28}{14}=-2.

Passo 7

Calcular a componente paralela:
\mathbf{v}_{\parallel}=\alpha\mathbf{b}=-2\mathbf{b}.
Substituindo \mathbf{b}=(-2,1,-3):
\mathbf{v}_{\parallel}=-2\cdot(-2,1,-3)=(4,-2,6).
Repare que \mathbf{v}_{\parallel} é exatamente igual a \mathbf{v}.

Passo 8

Calcular a componente ortogonal:
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}=(4,-2,6)-(4,-2,6)=(0,0,0),
isto é, o vetor nulo. Verificação de ortogonalidade (opcional, só para confirmar):
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=(0,0,0)\cdot(-2,1,-3)=0,
logo \mathbf{v}_{\perp} é ortogonal a \mathbf{b}.

Passo 9

Interpretação final e motivação: isso significa que \mathbf{v} já era paralelo a \mathbf{b}; a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b} recupera \mathbf{v} inteiro e a parte ortogonal é nula. Em provas, quando o escalar \alpha resultar em \mathbf{v}_{\parallel}=\mathbf{v}, sempre espere a componente ortogonal ser \mathbf{0}.

Resposta

\mathbf{v}=-2\mathbf{b}+\mathbf{0}
\mathbf{v}_{\parallel}=-2\mathbf{b}=(4,-2,6),\quad \mathbf{v}_{\perp}=(0,0,0)

Exercícios relacionados