Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=\langle-3,5\rangle, \mathbf{b}=\langle 1,1\rangle

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • O problema pede: expressar o vetor \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e um vetor ortogonal a \mathbf{b}. Ou seja, encontrar vetores \mathbf{v}_{\parallel} e \mathbf{v}_{\perp} tais que
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp},
com \mathbf{v}_{\parallel} paralelo a \mathbf{b} e \mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=0 (ortogonalidade).
  • Dados (pego do enunciado):
\mathbf{v}=\langle -3,5\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle 1,1\rangle.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product). Por que usamos isso aqui.
  • Produto escalar: para dois vetores em \mathbb{R}^2, \mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle e \mathbf{w}=\langle w_1,w_2\rangle, define-se
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2.
  • Propriedade útil: \mathbf{u} é ortogonal a \mathbf{w} exatamente quando \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0.
  • Calcular os produtos necessários com os vetores dados:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=(-3)\cdot1+5\cdot1=-3+5=2,
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=1\cdot1+1\cdot1=1+1=2.

Passo 3

Escolha de forma para o componente paralelo e derivação da fórmula do coeficiente.
  • Um vetor paralelo a \mathbf{b} tem a forma \alpha\,\mathbf{b}, onde \alpha é um escalar real. Então escrevemos
\mathbf{v}=\alpha\,\mathbf{b}+\mathbf{v}_{\perp},
onde queremos que \mathbf{v}_{\perp} seja ortogonal a \mathbf{b}.
  • Impor ortogonalidade:
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=0.
Substituindo \mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\alpha\,\mathbf{b} obtemos
(\mathbf{v}-\alpha\,\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0.
  • Desenvolvendo isso:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}-\alpha\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=0.
Isolando \alpha:
\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}.
Essa é a fórmula do coeficiente que dá a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{b} (a projeção escalar).

Passo 4

Calcular o coeficiente \alpha usando os produtos escalares calculados.
  • Substituindo os valores:
\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Calcular o componente paralelo (projeção) explicitamente.
  • A componente paralela é \mathbf{v}_{\parallel}=\alpha\,\mathbf{b}. Como \alpha=1,
\mathbf{v}_{\parallel}=1\cdot\langle 1,1\rangle=\langle 1,1\rangle.

Passo 6

Calcular o componente ortogonal e verificar ortogonalidade.
  • A componente ortogonal é
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}=\langle -3,5\rangle-\langle 1,1\rangle=\langle -4,4\rangle.
  • Verificação rápida de ortogonalidade:
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=(-4)\cdot1+4\cdot1=-4+4=0,
logo \mathbf{v}_{\perp} é de fato ortogonal a \mathbf{b}.

Passo 7

Conclusão da decomposição e dica prática.
  • Achamos:
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp}=\langle 1,1\rangle+\langle -4,4\rangle.
  • Dica prática para a prova: calcule sempre \alpha=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} para obter rapidamente a projeção \alpha\mathbf{b}; o restante é só subtrair para achar a parte ortogonal.

Resposta

\mathbf{v}_{\parallel}=\langle 1,1\rangle
\mathbf{v}_{\perp}=\langle -4,4\rangle

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