Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- O problema pede: expressar o vetor
como soma de um vetor paralelo a e um vetor ortogonal a . Ou seja, encontrar vetores e tais que
com
paralelo a
e
(ortogonalidade).
- Dados (pego do enunciado):
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (dot product). Por que usamos isso aqui.
- Produto escalar: para dois vetores em
, e , define-se
-
Propriedade útil:
é ortogonal a exatamente quando . -
Calcular os produtos necessários com os vetores dados:
Passo 3
Escolha de forma para o componente paralelo e derivação da fórmula do coeficiente.
- Um vetor paralelo a
tem a forma , onde é um escalar real. Então escrevemos
onde queremos que
seja ortogonal a
.
- Impor ortogonalidade:
Substituindo
obtemos
- Desenvolvendo isso:
Isolando
:
Essa é a fórmula do coeficiente que dá a componente de
na direção de
(a projeção escalar).
Passo 4
Calcular o coeficiente
usando os produtos escalares calculados.
- Substituindo os valores:
Passo 5
Calcular o componente paralelo (projeção) explicitamente.
- A componente paralela é
. Como ,
Passo 6
Calcular o componente ortogonal e verificar ortogonalidade.
- A componente ortogonal é
- Verificação rápida de ortogonalidade:
logo
é de fato ortogonal a
.
Passo 7
Conclusão da decomposição e dica prática.
- Achamos:
- Dica prática para a prova: calcule sempre
para obter rapidamente a projeção ; o restante é só subtrair para achar a parte ortogonal.