Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=3 \mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}, \mathbf{b}=2 \mathbf{i}-\mathbf{k}

Passo 1

O problema pede para escrever o vetor \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e um vetor ortogonal a \mathbf{b}. Ou seja, encontrar vetores \mathbf{v}_{\parallel} e \mathbf{v}_{\perp} tais que
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp},
com \mathbf{v}_{\parallel} paralelo a \mathbf{b} e \mathbf{v}_{\perp} ortogonal a \mathbf{b}.
Dados fornecidos:
  • \mathbf{v}=3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=2\mathbf{i}-\mathbf{k}.

Passo 2

Entendendo a ideia (aulas rápidas e práticas):
  • Produto interno (ou produto escalar) de dois vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_x w_x+u_y w_y+u_z w_z.
Ele mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor sobre outro.
  • Se quisermos a componente de \mathbf{v} paralela a \mathbf{b}, procuramos um escalar \alpha tal que \mathbf{v}_{\parallel}=\alpha\,\mathbf{b}. Para que a parte restante \mathbf{v}-\alpha\mathbf{b} seja ortogonal a \mathbf{b}, exigimos
(\mathbf{v}-\alpha\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0.
Desse requisito segue a fórmula do coeficiente:
\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}.
Portanto a projeção (componente paralela) é
\mathbf{v}_{\parallel}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b},
e a componente perpendicular é
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}.
Escrevendo as componentes:
\mathbf{v}=(3,1,-2),\qquad \mathbf{b}=(2,0,-1).
Logo
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=3\cdot2+1\cdot0+(-2)\cdot(-1)=6+0+2=8.

Passo 4

Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} (ou seja, \|\mathbf{b}\|^2):
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=2^2+0^2+(-1)^2=4+0+1=5.

Passo 5

Encontrar \alpha e \mathbf{v}_{\parallel}:
\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\frac{8}{5}.
Portanto
\mathbf{v}_{\parallel}=\frac{8}{5}\mathbf{b}=\frac{8}{5}(2\mathbf{i}-\mathbf{k})=\frac{16}{5}\mathbf{i}+0\mathbf{j}-\frac{8}{5}\mathbf{k}.

Passo 6

Calcular a componente ortogonal \mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}. Subtraindo componente a componente:
\mathbf{v}_{\perp}=\bigl(3-\tfrac{16}{5}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(1-0\bigr)\mathbf{j}+\bigl(-2-(-\tfrac{8}{5})\bigr)\mathbf{k}.
Fazendo as contas:
3-\tfrac{16}{5}=\tfrac{15}{5}-\tfrac{16}{5}=-\tfrac{1}{5},\qquad 1=1,\qquad -2+\tfrac{8}{5}=-\tfrac{10}{5}+\tfrac{8}{5}=-\tfrac{2}{5}.
Assim
\mathbf{v}_{\perp}=-\tfrac{1}{5}\mathbf{i}+1\mathbf{j}-\tfrac{2}{5}\mathbf{k}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): conferir que \mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=0 para garantir ortogonalidade.
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=(-\tfrac{1}{5})\cdot2 + 1\cdot0 + (-\tfrac{2}{5})\cdot(-1) = -\tfrac{2}{5}+0+\tfrac{2}{5}=0.
Está ok — a componente encontrada é realmente ortogonal a \mathbf{b}.

Resposta

\mathbf{v}_{\parallel}=\dfrac{16}{5}\mathbf{i}-\dfrac{8}{5}\mathbf{k}
\mathbf{v}_{\perp}=-\dfrac{1}{5}\mathbf{i}+\mathbf{j}-\dfrac{2}{5}\mathbf{k}

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