Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O problema pede para escrever o vetor
como soma de um vetor paralelo a
e um vetor ortogonal a
. Ou seja, encontrar vetores
e
tais que
com
paralelo a
e
ortogonal a
.
Dados fornecidos:
-
. -
.
Passo 2
Entendendo a ideia (aulas rápidas e práticas):
- Produto interno (ou produto escalar) de dois vetores
e é
Ele mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor sobre outro.
- Se quisermos a componente de
paralela a , procuramos um escalar tal que . Para que a parte restante seja ortogonal a , exigimos
Desse requisito segue a fórmula do coeficiente:
Portanto a projeção (componente paralela) é
e a componente perpendicular é
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
Escrevendo as componentes:
Logo
Passo 4
Calcular
(ou seja,
):
Passo 5
Encontrar
e
:
Portanto
Passo 6
Calcular a componente ortogonal
. Subtraindo componente a componente:
Fazendo as contas:
Assim
Passo 7
Verificação rápida (checagem): conferir que
para garantir ortogonalidade.
Está ok — a componente encontrada é realmente ortogonal a
.