Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
v=2 i-4 j, b=i+j

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei estes dados do enunciado):
  • O enunciado pede: expressar o vetor \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e um vetor ortogonal a \mathbf{b}. Ou seja, encontrar \mathbf{v}_{\parallel} e \mathbf{v}_{\perp} tais que
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp},
com \mathbf{v}_{\parallel} paralelo a \mathbf{b} e \mathbf{v}_{\perp} ortogonal a \mathbf{b}.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • \mathbf{v}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}.
    • \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}.

Passo 2

Entendendo a ideia: decompor \mathbf{v} em componente ao longo de \mathbf{b} (paralela) e componente perpendicular a \mathbf{b}. A componente paralela é a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}. A projeção usa o produto escalar (dot product). Vou agora explicar o produto escalar de forma simples.

Passo 3

Produto escalar (dot product) e como calcular com componentes:
  • Se \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{w}=(w_x,w_y), então o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_x w_x + u_y w_y.
  • No nosso caso podemos identificar \mathbf{v}=(2,-4) e \mathbf{b}=(1,1) (coordenadas em base \{\mathbf{i},\mathbf{j}\}).

Passo 4

Calcular os produtos escalares necessários:
  • Primeiro, \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b} = (2)(1) + (-4)(1) = 2 - 4 = -2.
  • Segundo, \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} (que é o quadrado da norma de \mathbf{b}):
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} = (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 = 2.

Passo 5

Fórmula da projeção (explicação didática): a componente de \mathbf{v} paralela a \mathbf{b} é dada por
\mathbf{v}_{\parallel} = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.
O raciocínio: \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} é um escalar que diz “quantas vezes” o vetor \mathbf{b} aparece na direção de \mathbf{v}; multiplicando por \mathbf{b} obtemos o vetor paralelo.

Passo 6

Aplicando a fórmula com os valores calculados:
  • O coeficiente escalar:
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} = \frac{-2}{2} = -1.
  • Portanto
\mathbf{v}_{\parallel} = -1\cdot\mathbf{b} = -1\cdot(\mathbf{i}+\mathbf{j}) = -\mathbf{i}-\mathbf{j}.

Passo 7

A componente ortogonal é simplesmente a diferença:
\mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}.
Calculemos:
\mathbf{v}_{\perp} = (2\mathbf{i}-4\mathbf{j}) - (-\mathbf{i}-\mathbf{j}) = (2+1)\mathbf{i} + (-4+1)\mathbf{j} = 3\mathbf{i}-3\mathbf{j}.

Passo 8

Verificação rápida (importante para a prova): garantir que \mathbf{v}_{\perp} é ortogonal a \mathbf{b}. Calcular o produto escalar:
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b} = (3)(1) + (-3)(1) = 3 - 3 = 0,
logo são ortogonais. Também \mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp}=(-\mathbf{i}-\mathbf{j})+(3\mathbf{i}-3\mathbf{j})=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}=\mathbf{v}, então a decomposição está correta.

Resposta

\mathbf{v}_{\parallel} = -\mathbf{i}-\mathbf{j}
\mathbf{v}_{\perp} = 3\mathbf{i}-3\mathbf{j}

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