Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei estes dados do enunciado):
- O enunciado pede: expressar o vetor
como soma de um vetor paralelo a e um vetor ortogonal a . Ou seja, encontrar e tais que
com
paralelo a
e
ortogonal a
.
- Dados (retirados do enunciado):
-
. -
.
-
Passo 2
Entendendo a ideia: decompor
em componente ao longo de
(paralela) e componente perpendicular a
. A componente paralela é a projeção de
sobre
. A projeção usa o produto escalar (dot product). Vou agora explicar o produto escalar de forma simples.
Passo 3
Produto escalar (dot product) e como calcular com componentes:
- Se
e , então o produto escalar é
- No nosso caso podemos identificar
e (coordenadas em base ).
Passo 4
Calcular os produtos escalares necessários:
- Primeiro,
:
- Segundo,
(que é o quadrado da norma de ):
Passo 5
Fórmula da projeção (explicação didática): a componente de
paralela a
é dada por
O raciocínio:
é um escalar que diz “quantas vezes” o vetor
aparece na direção de
; multiplicando por
obtemos o vetor paralelo.
Passo 6
Aplicando a fórmula com os valores calculados:
- O coeficiente escalar:
- Portanto
Passo 7
A componente ortogonal é simplesmente a diferença:
Calculemos:
Passo 8
Verificação rápida (importante para a prova): garantir que
é ortogonal a
. Calcular o produto escalar:
logo são ortogonais. Também
, então a decomposição está correta.