Em cada parte, determine o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} e o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b}. Então, esboce os vetores \mathbf{v}, projb \mathbf{v} \mathbf{~ e ~} \mathbf{v}- proj _{\mathbf{b}} \mathbf{v}.
\mathbf{v}=-3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}, \mathbf{b}=2 \mathbf{i}+\mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para os vetores dados:
  • Determinar o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} (ou seja, a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}).
  • Determinar o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (ou seja, a diferença entre \mathbf{v} e a projeção).
    Também pede um esboço dos vetores \mathbf{v}, \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} e \mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.
Dados fornecidos:
\mathbf{v} = -3\mathbf{i}-2\mathbf{j} e \mathbf{b} = 2\mathbf{i}+\mathbf{j}.

Passo 2

Primeiro preciso do produto escalar (dot product) \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}. Vou explicar o que é e como calcular:
  • O produto escalar entre dois vetores em coordenadas (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \,x_1x_2+y_1y_2.
  • Ele mede, intuitivamente, quanto um vetor “aponta na direção” do outro; aparece na fórmula da projeção.
Calculemos \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=(-3)\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = -6-2 = -8.

Passo 3

Agora a fórmula da projeção vetorial de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}. Vou apresentar e explicar:
  • A projeção vetorial (não apenas o comprimento projetado) é
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\;\mathbf{b}.
  • Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} já calculamos; \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} é o quadrado da norma de \mathbf{b} (ou seja, ||\mathbf{b}||^2).
  • A razão \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} é um escalar que diz quanto do vetor \mathbf{b} (em escala) corresponde à projeção.
Calculemos \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=2^2+1^2=4+1=5.
O escalar da projeção é então
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5} \quad(\text{ou } -1,6).

Passo 4

Multiplico o escalar -\dfrac{8}{5} pelo vetor \mathbf{b}=(2,1) para obter a projeção em coordenadas. Faço passo a passo:
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\left(-\frac{8}{5}\right)\big(2\mathbf{i}+1\mathbf{j}\big) = -\frac{8}{5}\cdot 2\,\mathbf{i} \;-\; \frac{8}{5}\cdot 1\,\mathbf{j}.
Calculando componentes:
-\frac{8}{5}\cdot 2 = -\frac{16}{5},\qquad -\frac{8}{5}\cdot 1 = -\frac{8}{5}.
Portanto
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} = -\frac{16}{5}\mathbf{i} - \frac{8}{5}\mathbf{j}.

Passo 5

Agora a componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} é simplesmente
\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.
Vou subtrair coordenada a coordenada, tendo cuidado com frações.
Escrevendo \mathbf{v} com denominador 5:
-3\mathbf{i} = -\dfrac{15}{5}\mathbf{i},\quad -2\mathbf{j} = -\dfrac{10}{5}\mathbf{j}.
Subtraindo:
\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} = \Big(-\frac{15}{5}\mathbf{i} - \Big(-\frac{16}{5}\mathbf{i}\Big)\Big) \;+\; \Big(-\frac{10}{5}\mathbf{j} - \Big(-\frac{8}{5}\mathbf{j}\Big)\Big).
Calcule cada componente:
-\frac{15}{5} + \frac{16}{5} = \frac{1}{5},\qquad -\frac{10}{5} + \frac{8}{5} = -\frac{2}{5}.
Logo
\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{1}{5}\mathbf{i}-\frac{2}{5}\mathbf{j}.

Passo 6

É bom verificar que a componente ortogonal realmente é ortogonal a \mathbf{b}. Para isso calculo o produto escalar entre \mathbf{b} e \mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}:
\mathbf{b}\cdot\big(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}\big) = (2)\cdot\frac{1}{5} + (1)\cdot\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0.
Como o produto escalar é 0, a verificação está correta: o vetor é ortogonal a \mathbf{b}.

Passo 7

Dicas para esboçar os vetores (passo a passo para desenhar no papel; nada complicado):
  1. Trace eixos x e y. Marque pontos inteiros.
  2. Desenhe \mathbf{b}=2\mathbf{i}+\mathbf{j} como um vetor apontando para a direita e ligeiramente para cima (ponto (2,1)).
  3. Desenhe \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} = -\dfrac{16}{5}\mathbf{i}-\dfrac{8}{5}\mathbf{j}. Note que ambas as componentes são negativas, então esse vetor aponta na direção oposta a \mathbf{b}. Em coordenadas é aproximadamente (-3,2,\! -1,6) — mais precisamente (-3,2),(-1,6) se usar vírgula decimal: -3,2\mathbf{i}-1,6\mathbf{j}.
  4. Desenhe a componente ortogonal \dfrac{1}{5}\mathbf{i}-\dfrac{2}{5}\mathbf{j}, que é pequena e aponta para a direita e para baixo (aprox. (0,2,-0,4)).
  5. Para mostrar que \mathbf{v}=\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}+(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}), desenhe a soma vetorial: a ponta de \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} somada ao vetor ortogonal deve cair na ponta de \mathbf{v}=(-3,-2). Alternativamente, desenhe \mathbf{v} diretamente em (-3,-2) e verifique visualmente que ele se decompõe na componente ao longo de \mathbf{b} (na direção oposta a \mathbf{b}) mais a componente ortogonal.
Força aí — isso resolve a decomposição; vale lembrar: em provas, escreva a fórmula da projeção, calcule o produto escalar e simplifique frações com cuidado.

Resposta

\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=-\dfrac{16}{5}\mathbf{i}-\dfrac{8}{5}\mathbf{j}
\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\dfrac{1}{5}\mathbf{i}-\dfrac{2}{5}\mathbf{j}

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