Em cada parte, determine o componente vetorial de
ao longo de
e o componente vetorial de
ortogonal
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o componente vetorial de
ao longo de (isto é, a projeção de sobre ). - Determinar o componente vetorial de
ortogonal a (isto é, a parte de perpendicular a ).
As informações dadas (peguei tudo do enunciado):
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula e o porquê dela (a explicação passo a passo que queria).
- Produto interno (dot product): para
e ,
Ele dá, entre outras coisas, a medida de quanto um vetor “aponta na direção” do outro.
- Projeção de
sobre (componente ao longo de ): a fórmula é
Explicando:
é um número que mede o alinhamento;
normaliza esse alinhamento; multiplicando por
obtemos um vetor na direção de
com o tamanho certo.
- Componente ortogonal: é simplesmente o que sobra ao retirar a projeção do vetor original:
Passo 3
Calcular os produtos internos necessários.
Passo 4
Calcular a projeção usando a fórmula. O escalar é
. Portanto
Passo 5
Calcular o componente ortogonal realizando
.
Agora colocamos em denominador comum
:
Logo
Passo 6
Verificação rápida (importante para a prova): a componente ortogonal deve ser perpendicular a
, ou seja, o produto interno entre elas deve ser zero. Calcular
Calculemos a soma dentro do parêntese:
. Portanto o produto interno é
, confirmado: a componente é de fato ortogonal a
.
Passo 7
Dica de prova: memorizando a fórmula da projeção e sabendo calcular dot products e subtração de vetores, você resolve esse tipo de questão rápida e com certeza acerta. Respire fundo, faça linha a linha como aqui que dá certo.
Resposta
Componente de
ao longo de
:
Componente de
ortogonal a
: