Em cada parte, determine o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} e o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=\langle 4,-1,7\rangle, \mathbf{b}=\langle 2,3,-6\rangle

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o componente vetorial de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b} (isto é, a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}).
  • Determinar o componente vetorial de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (isto é, a parte de \mathbf{v} perpendicular a \mathbf{b}).
As informações dadas (peguei tudo do enunciado):
\mathbf{v}=\langle 4,-1,7\rangle,\qquad \mathbf{b}=\langle 2,3,-6\rangle.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula e o porquê dela (a explicação passo a passo que queria).
  • Produto interno (dot product): para \mathbf{x}=\langle x_1,x_2,x_3\rangle e \mathbf{y}=\langle y_1,y_2,y_3\rangle,
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Ele dá, entre outras coisas, a medida de quanto um vetor “aponta na direção” do outro.
  • Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b} (componente ao longo de \mathbf{b}): a fórmula é
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.
Explicando: \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é um número que mede o alinhamento; \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{b}\|^2 normaliza esse alinhamento; multiplicando por \mathbf{b} obtemos um vetor na direção de \mathbf{b} com o tamanho certo.
  • Componente ortogonal: é simplesmente o que sobra ao retirar a projeção do vetor original:
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.

Passo 3

Calcular os produtos internos necessários.
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=4\cdot2+(-1)\cdot3+7\cdot(-6)=8-3-42=-37.
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=2^2+3^2+(-6)^2=4+9+36=49.

Passo 4

Calcular a projeção usando a fórmula. O escalar é \dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}=\dfrac{-37}{49}. Portanto
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{-37}{49}\,\langle 2,3,-6\rangle =\left\langle -\frac{74}{49},-\frac{111}{49},\frac{222}{49}\right\rangle.

Passo 5

Calcular o componente ortogonal realizando \mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}.
\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} =\langle 4,-1,7\rangle-\left\langle -\frac{74}{49},-\frac{111}{49},\frac{222}{49}\right\rangle =\left\langle 4+\frac{74}{49},\,-1+\frac{111}{49},\,7-\frac{222}{49}\right\rangle.
Agora colocamos em denominador comum 49:
4+\frac{74}{49}=\frac{196+74}{49}=\frac{270}{49}, \qquad -1+\frac{111}{49}=\frac{-49+111}{49}=\frac{62}{49}, \qquad 7-\frac{222}{49}=\frac{343-222}{49}=\frac{121}{49}.
Logo
\mathbf{v}_{\perp}=\left\langle \frac{270}{49},\frac{62}{49},\frac{121}{49}\right\rangle.

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): a componente ortogonal deve ser perpendicular a \mathbf{b}, ou seja, o produto interno entre elas deve ser zero. Calcular
\mathbf{b}\cdot\mathbf{v}_{\perp}=\langle 2,3,-6\rangle\cdot\left\langle \frac{270}{49},\frac{62}{49},\frac{121}{49}\right\rangle =\frac{1}{49}(2\cdot270+3\cdot62-6\cdot121).
Calculemos a soma dentro do parêntese: 540+186-726=0. Portanto o produto interno é 0, confirmado: a componente é de fato ortogonal a \mathbf{b}.

Passo 7

Dica de prova: memorizando a fórmula da projeção e sabendo calcular dot products e subtração de vetores, você resolve esse tipo de questão rápida e com certeza acerta. Respire fundo, faça linha a linha como aqui que dá certo.

Resposta

Componente de \mathbf{v} ao longo de \mathbf{b}: \displaystyle \left\langle -\frac{74}{49},-\frac{111}{49},\frac{222}{49}\right\rangle
Componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b}: \displaystyle \left\langle \frac{270}{49},\frac{62}{49},\frac{121}{49}\right\rangle

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