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matrices
con términos reales
tiene dimensión 4 . Una base de
es:
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
matrizes
com termos reais
, afirma que sua dimensão é
e fornece o conjunto de quatro matrizes
O que se pede (implicitamente) é verificar que esse conjunto é uma base de
; isto é, mostrar que essas quatro matrizes geram todo o espaço e que são linearmente independentes (ou, usando a dimensão, mostrar linear independência de quatro vetores em um espaço de dimensão
).]
Passo 2
Lembrete rápido do que significa “base” (passo didático):
- Um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se (i) gera o espaço (ou seja, seu span é todo o espaço) e (ii) é linearmente independente.
- Alternativa útil: se o espaço tem dimensão
e temos um conjunto de vetores linearmente independentes, então esse conjunto é uma base (porque não há mais que vetores independentes e eles já têm o tamanho correto).
Vou usar essas definições e mostrar, de forma direta, que qualquer matrizpode ser escrita como combinação linear dessas quatro matrizes (geração) e que a combinação linear nula só ocorre com todos os coeficientes iguais a zero (independência).
Passo 3
Mostrando que o conjunto gera
.
Pegue uma matriz arbitrária qualquer de ; escreva-a com símbolos para os seus elementos:
Pegue uma matriz arbitrária qualquer de
onde
. Agora veja a combinação linear
Calcule essa soma termo a termo:
Portanto toda matriz
pode ser escrita como combinação linear dos quatro
. Conclusão: o conjunto
gera
.]
Passo 4
Mostrando que o conjunto é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz nula:
Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz nula:
com coeficientes
. Calculando a soma no lado esquerdo obtemos
Duas matrizes são iguais se e só se todas as entradas correspondentes são iguais; portanto
,
,
e
.
Isso mostra que a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, logo os quatro vetores são linearmente independentes.]
Isso mostra que a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, logo os quatro vetores são linearmente independentes.]
Passo 5
Concluindo que o conjunto é uma base.
Já mostramos que o conjunto gera (Passo 3) e que é linearmente independente (Passo 4). Pelo próprio definição, isso basta para ser uma base. Alternativamente, como
tem dimensão
e temos
vetores linearmente independentes, isso também garante que são uma base. Portanto o conjunto dado é uma base de
.
Já mostramos que o conjunto gera
Passo 6
Comentário prático e memória para prova (dica amiga).
- Essas quatro matrizes
são chamadas de base canônica ou base padrão de . - Para escrever rapidamente a representação de uma matriz qualquer
nessa base, basta ler os coeficientes: os coordenados são na ordem dos vetores . - Em prova: ao pedir para mostrar que um conjunto é base, faça sempre (1) mostrar que gera escrevendo um elemento genérico como combinação, e (2) mostrar independência supondo combinação nula e igualando entradas — esses são os passos rápidos e seguros.
Resposta
Sim: as quatro matrizes dadas formam uma base de
.