1. \mathbf{M}_{2 \times 2}=\{ matrices 2 \times 2 con términos reales \} tiene dimensión 4 . Una base de \mathbf{M}_{2 \times 2} es:
\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbf{M}_{2\times2}=\{ matrizes 2\times2 com termos reais \}, afirma que sua dimensão é 4 e fornece o conjunto de quatro matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede (implicitamente) é verificar que esse conjunto é uma base de \mathbf{M}_{2\times2}; isto é, mostrar que essas quatro matrizes geram todo o espaço e que são linearmente independentes (ou, usando a dimensão, mostrar linear independência de quatro vetores em um espaço de dimensão 4).]

Passo 2

Lembrete rápido do que significa “base” (passo didático):
  • Um conjunto de vetores é uma base de um espaço vetorial se (i) gera o espaço (ou seja, seu span é todo o espaço) e (ii) é linearmente independente.
  • Alternativa útil: se o espaço tem dimensão n e temos um conjunto de n vetores linearmente independentes, então esse conjunto é uma base (porque não há mais que n vetores independentes e eles já têm o tamanho correto).
    Vou usar essas definições e mostrar, de forma direta, que qualquer matriz 2\times2 pode ser escrita como combinação linear dessas quatro matrizes (geração) e que a combinação linear nula só ocorre com todos os coeficientes iguais a zero (independência).

Passo 3

Mostrando que o conjunto gera \mathbf{M}_{2\times2}.
Pegue uma matriz arbitrária qualquer de \mathbf{M}_{2\times2}; escreva-a com símbolos para os seus elementos:
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}. Agora veja a combinação linear
a\,E_{11}+b\,E_{12}+c\,E_{21}+d\,E_{22}.
Calcule essa soma termo a termo:
a\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Portanto toda matriz A pode ser escrita como combinação linear dos quatro E_{ij}. Conclusão: o conjunto \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} gera \mathbf{M}_{2\times2}.]

Passo 4

Mostrando que o conjunto é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz nula:
\alpha\,E_{11}+\beta\,E_{12}+\gamma\,E_{21}+\delta\,E_{22}= \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
com coeficientes \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}. Calculando a soma no lado esquerdo obtemos
\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\[4pt] \gamma & \delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Duas matrizes são iguais se e só se todas as entradas correspondentes são iguais; portanto
\alpha=0, \beta=0, \gamma=0 e \delta=0.
Isso mostra que a única combinação linear que produz a matriz zero é a combinação trivial, logo os quatro vetores são linearmente independentes.]

Passo 5

Concluindo que o conjunto é uma base.
Já mostramos que o conjunto gera \mathbf{M}_{2\times2} (Passo 3) e que é linearmente independente (Passo 4). Pelo próprio definição, isso basta para ser uma base. Alternativamente, como \mathbf{M}_{2\times2} tem dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, isso também garante que são uma base. Portanto o conjunto dado é uma base de \mathbf{M}_{2\times2}.

Passo 6

Comentário prático e memória para prova (dica amiga).
  • Essas quatro matrizes E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} são chamadas de base canônica ou base padrão de \mathbf{M}_{2\times2}.
  • Para escrever rapidamente a representação de uma matriz qualquer \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} nessa base, basta ler os coeficientes: os coordenados são (a,b,c,d) na ordem dos vetores (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}).
  • Em prova: ao pedir para mostrar que um conjunto é base, faça sempre (1) mostrar que gera escrevendo um elemento genérico como combinação, e (2) mostrar independência supondo combinação nula e igualando entradas — esses são os passos rápidos e seguros.

Resposta

Sim: as quatro matrizes dadas formam uma base de \mathbf{M}_{2\times2}.

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