O enunciado afirma: "\mathbb{R}^{n} tem dimensão n, pois tem uma base de n elementos (por exemplo, a canônica)."
O que precisamos justificar passo a passo:
Mostrar que a base canônica \{e_{1},\dots,e_{n}\} é de fato uma base (ou seja, é linearmente independente e gera \mathbb{R}^{n}).
Mostrar que não existe conjunto de vetores linearmente independentes com mais de n elementos em \mathbb{R}^{n}.
Concluir que a dimensão de \mathbb{R}^{n} é exatamente n.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados devagar, para usar em provas):
Definição de base: Um conjunto B de vetores em um espaço vetorial V é uma base se (i) os vetores de B são linearmente independentes e (ii) a combinação linear de vetores de B gera todo V (isto é, \operatorname{span}(B)=V).
Linearmente independente: Vetores v_{1},\dots,v_{m} são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{m}v_{m}=0
é c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0. Caso exista solução não trivial, dizem-se linearmente dependentes.
Dimensão: A dimensão de um espaço vetorial V (quando finita) é o número de vetores em qualquer base de V. Para que esta definição faça sentido é preciso saber que todo par de bases finitas de V tem o mesmo número de elementos — vamos, na prática aqui, usar argumentos diretos para \mathbb{R}^{n} que comprovam isso no caso.
Exemplo concreto (para intuir): em \mathbb{R}^{2}, os vetores e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1) formam a base canônica; qualquer vetor (x,y) escreve-se como x e_{1}+y e_{2}.
Passo 3
Mostrar que a base canônica gera \mathbb{R}^{n} (espalha todos os vetores):
Tomemos um vetor arbitrário x\in\mathbb{R}^{n}. Escreve-se x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}), onde cada x_{i}\in\mathbb{R}.
Conclusão: qualquer vetor de \mathbb{R}^{n} é combinação linear dos e_{i}, logo \operatorname{span}\{e_{1},\dots,e_{n}\}=\mathbb{R}^{n}.
Comentário amigável: isso é quase óbvio — cada coordenada do vetor aparece multiplicando exatamente o e_i correspondente.
Passo 4
Mostrar que a base canônica é linearmente independente:
Suponha que existam escalares c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{R} tais que
c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+\cdots+c_{n}e_{n}=0,
onde 0 é o vetor nulo (0,\dots,0).
Escrevendo coordenada a coordenada, o lado esquerdo tem na primeira coordenada c_{1}, na segunda c_{2}, …, na i-ésima coordenada c_{i}, e assim por diante. Igualando ao vetor nulo temos
c_{1}=0,\; c_{2}=0,\; \dots,\; c_{n}=0.
Portanto a única solução é a trivial: todos os c_{i}=0. Logo os vetores e_{1},\dots,e_{n} são linearmente independentes.
Comentário prático: cada e_i “liga” apenas uma coordenada, então não há como combinar para anular tudo sem anular cada coeficiente.
Passo 5
Conclusão parcial: a canônica é uma base com n vetores
Pelos passos anteriores, \{e_{1},\dots,e_{n}\} é um conjunto que gera \mathbb{R}^{n} e é linearmente independente. Logo é uma base de \mathbb{R}^{n}.
Portanto existe uma base de \mathbb{R}^{n} com exatamente n elementos. Isso mostra que a dimensão de \mathbb{R}^{n} é pelo menos n (há um conjunto independente de tamanho n).
Passo 6
Provar que não existem mais de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{n} (parte crucial):
Seja v_{1},\dots,v_{m}\in\mathbb{R}^{n} com m>n. Coloque-os como colunas numa matriz A de tamanho n\times m:
A=[\,v_{1}\\ \\ v_{2}\\ \\ \cdots\\ \\ v_{m}\,].
Considere o sistema homogêneo em incógnitas c_{1},\dots,c_{m}:
Esse sistema tem n equações (uma por coordenada) e m incógnitas, com m>n. Ao resolver (por eliminação de Gauss) obter-se-á sempre pelo menos uma variável livre, portanto existe solução não-trivial (um vetor de coeficientes não nulo que satisfaz o sistema).
A existência dessa solução não-trivial significa que os vetores v_{1},\dots,v_{m} são linearmente dependentes.
Conclusão: nenhum conjunto de mais de n vetores em \mathbb{R}^{n} pode ser linearmente independente.
Explicação extra amigável: intuitivamente, só há “espaço” para n direções independentes num espaço em que cada vetor tem n coordenadas; mais vetores que isso obrigatoriamente se repetem em alguma combinação.]
Passo 7
Combinar os resultados para concluir que a dimensão é exatamente n
Do Passo 5 temos um conjunto independente com n elementos (a base canônica). Assim a máxima cardinalidade possível de um conjunto independente em \mathbb{R}^{n} é pelo menos n.
Do Passo 6 sabemos que qualquer conjunto independente tem no máximo n elementos.
Juntando as duas observações: o maior número de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{n} é exatamente n.
Pela definição prática de dimensão (número máximo de vetores linearmente independentes, que coincide com o número de elementos de uma base), segue que
\dim(\mathbb{R}^{n})=n.
Comentário motivacional: portanto a afirmação do enunciado está correta e totalmente justificada — a base canônica dá o exemplo explícito, e o argumento com sistemas homogêneos impede bases maiores.
Passo 8
Observações úteis para a prova na hora da prova (dicas rápidas):
Para mostrar que um conjunto gera \mathbb{R}^{n}, escreva um vetor arbitrário (x_{1},\dots,x_{n}) e mostre como obtê-lo como combinação linear.
Para mostrar independência da canônica, compare coordenada a coordenada; isso é muito direto.
Para provar que não existem mais de n vetores independentes, reformule o problema como sistema homogêneo A c=0. Se o número de incógnitas excede o número de equações, há solução não-trivial.
Em questões semelhantes, sempre procure transformar em argumentos sobre matrizes n\times m e sistemas lineares — isso evita jargões pesados e é rápido em prova.