Calcule a integral:
\int \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}} d x
\int \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, logo a função racional é própria (grau do numerador menor que o do denominador). Essas informações são suficientes para aplicar decomposição em frações parciais.
Passo 2
Escolha do método: como temos uma função racional própria cuja fatoração do denominador é um produto de fatores lineares, usamos decomposição em frações parciais. Regra importante: para um fator
repetido devemos incluir termos
. Portanto assumimos a forma
onde
são constantes a determinar. Explico: cada termo corresponde a um fator linear do denominador; para o fator repetido
incluímos os dois termos.
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Obtemos a identidade polinomial
Isto vale para todo
(identidade de polinômios).
Passo 4
Expandir o lado direito e agrupar termos semelhantes. Primeiro expandimos:
Somando:
Passo 5
Comparar coeficientes termo a termo com o polinômio da esquerda
Resolver passo a passo: da terceira equação
. Substituindo na segunda,
Finalmente, pela primeira
.]
Passo 6
Com os valores encontrados, reescrevemos a decomposição parcial:
Ou de forma mais limpa:
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
Transformamos
. Então
Calcule cada integral:
Observação sobre sinais: em
usamos a regra
com
, obtendo
; o menos que já estava na frente transforma-se em
.
Passo 8
Juntando tudo e incluindo a constante de integração
, a primitiva é
Opcionalmente dá para combinar os logaritmos como um único logaritmo, mas a forma soma é clara e adequada para prova.