Calcule a integral:
\int \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{denominador } x^{3}+2x^{2}=x^{2}(x+2);
o numerador tem grau 2 e o denominador tem grau 3, logo a função racional é própria (grau do numerador menor que o do denominador). Essas informações são suficientes para aplicar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escolha do método: como temos uma função racional própria cuja fatoração do denominador é um produto de fatores lineares, usamos decomposição em frações parciais. Regra importante: para um fator x^2 repetido devemos incluir termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Portanto assumimos a forma
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{2}(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+2},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico: cada termo corresponde a um fator linear do denominador; para o fator repetido x^2 incluímos os dois termos.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+2). Obtemos a identidade polinomial
5 x^{2}+3 x-2 = A\cdot x(x+2) + B\cdot(x+2) + C\cdot x^{2}.
Isto vale para todo x (identidade de polinômios).

Passo 4

Expandir o lado direito e agrupar termos semelhantes. Primeiro expandimos:
A\cdot x(x+2)=A(x^{2}+2x)=A x^{2}+2A x,
B\cdot(x+2)=B x+2B,
C\cdot x^{2}=C x^{2}.
Somando:
A x^{2}+2A x + B x + 2B + C x^{2}=(A+C)x^{2}+(2A+B)x+2B.

Passo 5

Comparar coeficientes termo a termo com o polinômio da esquerda 5x^{2}+3x-2\). Obtém-se o sistema \[\begin{cases} A+C=5,\\[4pt] 2A+B=3,\\[4pt] 2B=-2. \end{cases}
Resolver passo a passo: da terceira equação 2B=-2\] segue \(B=-1. Substituindo na segunda,
2A+(-1)=3 \implies 2A=4 \implies A=2.
Finalmente, pela primeira C=5-A=5-2=3.]

Passo 6

Com os valores encontrados, reescrevemos a decomposição parcial:
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{2}(x+2)}=\frac{2}{x}+\frac{-1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}.
Ou de forma mais limpa:
\frac{5 x^{2}+3 x-2}{x^{3}+2 x^{2}}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\ \\ (n\neq -1).
Transformamos -\dfrac{1}{x^{2}}=-x^{-2}. Então
\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x+2}\right)dx =2\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx+3\int\frac{1}{x+2}dx.
Calcule cada integral:
2\int\frac{1}{x}dx=2\ln|x|,
-\int x^{-2}dx=-\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)=\frac{1}{x},
3\int\frac{1}{x+2}dx=3\ln|x+2|.
Observação sobre sinais: em \int x^{-2}dx usamos a regra \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} com n=-2, obtendo \dfrac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}; o menos que já estava na frente transforma-se em +x^{-1}.

Passo 8

Juntando tudo e incluindo a constante de integração C, a primitiva é
2\ln|x|+\frac{1}{x}+3\ln|x+2|+C.
Opcionalmente dá para combinar os logaritmos como um único logaritmo, mas a forma soma é clara e adequada para prova.

Resposta

2\ln|x|+\dfrac{1}{x}+3\ln|x+2|+C

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