Express the potential field of an infinite line charge
Can the zero reference be placed at infinity?

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma linha de carga infinita, com densidade linear de carga V(r)-V(r0);=; -integralr0^r vec Ecdot dvec ell . A questão pede o potencial elétrico em função da distância radial até essa linha e pergunta se dá pra escolher .
Conteúdo: eletrostática, mais precisamente campo de Gauss para linha infinita e definição de potencial como integral do campo. Vamos precisar da expressão de e da definição

Passo 2

Primeiro, lembra do campo elétrico de uma linha infinita (resultado clássico via Gauss):
E(r);=;lambda2pivarepsilon0,r(radial para fora)
Aqui é a permissividade do vácuo e é a distância ao eixo da linha.

Passo 3

Agora a definição de potencial: se a gente define o potencial em V(r)-V(r0);=; -integralr0^r E(r'),dr' como , então
(apenas componente radial porque o campo é radial).

Passo 4

Vamos fazer a integral. Substituindo V(r)-V(r0) = -integralr0^r lambda2pivarepsilon0,r',dr' = -lambda2pivarepsilon0l[ln r'r]r0^r = -lambda2pivarepsilon0l(ln r - ln r0r) :
V(r) = V(r0);+;lambda2pivarepsilon0ln!gl(r0rgr)
Isso dá
boxedV(r)=lambda2pivarepsilon0,ln!l(r0rr)
Geralmente escolhemos , então

Passo 5

E sobre colocar ? Se , o termo diverge ( ). Ou seja, não faz sentido físico nem matemático usar aqui, pois o potencial cresce sem limite. Precisamos escolher um ponto de referência finito .

Resposta

.
Não dá pra colocar o zero da energia potencial em , porque a integral diverge.

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