Express the potential field of an infinite line charge
with zero reference at rho=rho0

Passo 1

Beleza, o exercício pede para achar o potencial elétrico de uma linha de carga infinita, definindo que em ρ=ρ₀ o potencial vale zero. Isso é eletrostática básica: a gente vai usar a Lei de Gauss pra achar o campo E e depois integrar E pra conseguir V, lembrando que E=–∇V.

Passo 2

Primeiro a gente monta um cilindro gaussiano de raio ρ e comprimento L, centrado na linha de carga. Pela simetria, o campo E só depende de ρ e aponta na direção radial (ρ̂). A Lei de Gauss diz:
Phi = oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0
O fluxo pela lateral é E(ρ),2pirho,L = λLvarepsilon0 Longrightarrow E(ρ) = λ2pivarepsilon0,ρ;hatρ , e a carga interna é λL. Então:

Passo 3

Agora usa a relação entre campo e potencial:
V(ρ)-V(ρ0) = -integralρ0^ρ Ecdot dl
Como o deslocamento é radial, .

Passo 4

Substituindo V(ρ)-V(ρ0) = -integralρ0^ρ λ2pivarepsilon0,r,dr = -λ2pivarepsilon0integralρ0^ρdrr = -λ2pivarepsilon0ln!gl(ρρ0gr) na integral:

Passo 5

Como escolhemos V(ρ) = -λ2pivarepsilon0ln!gl(ρρ0gr) = λ2pivarepsilon0ln!gl(ρ0ρgr) , a expressão acima vira:

Resposta

boxedV(ρ) ;=; λ2pivarepsilon0,ln!gl(ρ0ρgr),
que satisfaz .

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