Given the electric field E=(y+1) ax+(x-1) ay+2 az, find the potential difference between the points
(2,-2,-1) and (0,0,0)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Dado o campo elétrico
E=(y+1),ax + (x-1),ay + 2,az,
encontre a diferença de potencial entre os pontos E = -nabla V e .”
Isso é matéria de Eletrostática – a ideia é usar a relação entre campo elétrico e potencial:
Para achar a diferença de potencial, a gente vai:
  1. Verificar que o campo é conservativo ( ).
  2. Encontrar uma função que satisfaça .
  3. Calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o campo é conservativo. Isso garante que exista um potencial único (até constante).
O rotor é
nablatimesE = ax & ay & az partialx & partialy & partialz y+1 & x-1 & 2
Calculando cada componente:
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
    Como tudo dá zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora usamos Ex = -( partial V/partial x ), Ey = -( partial V/partial y ), Ez = -( partial V/partial z ) , ou seja
y+1 = Ex = -partial Vpartial x, x-1 = Ey = -partial Vpartial y, 2 = Ez = -partial Vpartial z
Escrevendo:

Passo 4

Integrando cada parte:
  1. De V(x,y,z) = -,(y+1),x + f(y,z) , integro em -,x + partial fpartial y = -,x + 1 Longrightarrow partial fpartial y = 1 ;Rightarrow; f(y,z) = y + g(z) :
g'(z) = -2 ;Rightarrow; g(z) = -2,z + C
  1. Então V(x,y,z) = -,x(y+1) ;+; y ;-; 2z ;+; C = -xy ;-; x ;+; y ;-; 2z ;+; C . Mas deve valer .
    Logo
  1. Por fim, deve ser igual a .
Juntando tudo:

Passo 5

Queremos a diferença de potencial entre De e V(2,-2,-1) = -[2cdot(-2)] - 2 + (-2) -2cdot(-1) + C = 4 -2 -2 +2 + C = 2 + C, .
V(0,0,0) = -0 -0 +0 -0 + C = C
Calculemos:
De
Logo

Resposta

A diferença de potencial entre e é volts.

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