A expressão
A cdot B=traço(B^t A) ̧
define em M(2,2) um produto interno.
Sendo A=[ll0 & 1 1 & 1] e B=[ll1 & 0 0 & 0] vetores em M(2,2), calcule A B, |A| e|B|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o produto interno entre duas matrizes e usando a fórmula dada, além das normas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de produtos internos em espaços de matrizes, especificamente em , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o traço de uma matriz e como encontrar a norma de uma matriz usando o produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço ( c11 & c12 c21 & c22 ̧) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, se temos uma matriz , então ç.

Passo 3

Agora, vamos calcular 1 & 0 0 & 0 , que é a transposta da matriz B^t = 1 & 0 0 & 0 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Dada , sua transposta é:
No caso de , como ela é simétrica, a transposta é igual a ela mesma.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar B^t cdot A = 1 & 0 0 & 0 cdot 0 & 1 1 & 1 = (1 cdot 0 + 0 cdot 1) & (1 cdot 1 + 0 cdot 1) (0 cdot 0 + 0 cdot 1) & (0 cdot 1 + 0 cdot 1) = 0 & 1 0 & 0 por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:

Passo 5

Com o resultado da multiplicação, agora vamos calcular o traço dessa matriz:
traço(B^t cdot A) = 0 + 0 = 0 ç
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas de |C| = raizC cdot C = raiztraço(C^t cdot C) e . A norma de uma matriz no espaço de produto interno é dada por:
ç
Vamos começar com .

Passo 7

Primeiro, calculamos A^t = 0 & 1 1 & 1 (como A é simétrica, A^t = A) :
A^t cdot A = 0 & 1 1 & 1 cdot 0 & 1 1 & 1 = (0 cdot 0 + 1 cdot 1) & (0 cdot 1 + 1 cdot 1) (1 cdot 0 + 1 cdot 1) & (1 cdot 1 + 1 cdot 1) = 1 & 1 1 & 2 éé
traço(A^t cdot A) = 1 + 2 = 3
Agora, o traço de |A| = raiz3 é:
ç
Então, a norma de é:

Passo 8

Agora, vamos calcular B^t cdot B = 1 & 0 0 & 0 cdot 1 & 0 0 & 0 = (1 cdot 1 + 0 cdot 0) & (1 cdot 0 + 0 cdot 0) (0 cdot 1 + 0 cdot 0) & (0 cdot 0 + 0 cdot 0) = 1 & 0 0 & 0 . Primeiro, encontramos traço(B^t cdot B) = 1 + 0 = 1 :
|B| = raiz1 = 1
O traço de é:
ç
Portanto, a norma de é:

Resposta

A cdot B = 0, |A| = raiz3 e |B| = 1

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