A expressão
define em
um produto interno.
Sendo
e
vetores em
, calcule
,
.
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o produto interno entre duas matrizes
e
usando a fórmula dada, além das normas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de produtos internos em espaços de matrizes, especificamente em
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o traço de uma matriz e como encontrar a norma de uma matriz usando o produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço (
) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, se temos uma matriz
, então
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a transposta da matriz
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Dada
, sua transposta é:
No caso de
, como ela é simétrica, a transposta é igual a ela mesma.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
Passo 5
Com o resultado da multiplicação, agora vamos calcular o traço dessa matriz:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular as normas de
e
. A norma de uma matriz
no espaço de produto interno é dada por:
Vamos começar com
.
Passo 7
Primeiro, calculamos
:
Agora, o traço de
é:
Então, a norma de
é:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Primeiro, encontramos
:
O traço de
é:
Portanto, a norma de
é: