(a) Dê uma expressão integral para o momento de inércia I_{z} em torno do eixo z de uma folha fina no formato da superfície S se a função densidade é \rho.
(b) Determine o momento de inércia em torno do eixo z do funil do Exercício 40.

Passo 1

O enunciado pede (a) a expressão integral geral para o momento de inércia I_{z} de uma lâmina fina cuja superfície é S e densidade superficial é \rho, em torno do eixo z. Em (b) pede o I_{z} de um “funil” definido no Exercício 40, mas esse enunciado não foi fornecido.

Passo 2

Para uma lâmina fina de densidade superficial \rho, cada ponto da superfície S está a uma distância \sqrt{x^{2}+y^{2}} do eixo z. O momento de inércia é a integral de (\text{distância})^{2}â vezes a massa elementar \rho\,dS. Logo,
I_{z}\;=\;\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,\rho\,dS.

Passo 3

O item (b) requer a forma e dimensões do funil do Exercício 40, que não foram fornecidas. Sem esses dados não é possível realizar o cálculo.

Resposta

(a) \displaystyle I_{z}=\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,\rho\,dS.
(b) Não é possível determinar I_{z} pois o enunciado do Exercício 40 não foi disponibilizado.

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