A linha de microfita é uma tecnologia presente na maioria dos equipamentos eletrônicos e de telecomunicações da atualidade.
Uma linha de microfita em substrato de parafina \left(\varepsilon_{\mathrm{r}}=2,2\right) de altura h=0,05 cm e largura w=0,045 \mathrm{~cm} possui Z_{0}=100 \Omega.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que devemos verificar (peguei estes números do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • \varepsilon_{\mathrm{r}}=2,2 (constante dielétrica relativa do substrato);
    • h=0,05\\ \mathrm{cm} (espessura do substrato);
    • w=0,045\\ \mathrm{cm} (largura do condutor);
    • o enunciado afirma que a linha possui Z_{0}=100\\ \Omega.
  • Pedido (interpretado a partir do enunciado): verificar/calcular o valor da impedância característica Z_{0} da microfita com os dados acima e mostrar que corresponde a 100\\ \Omega.

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (aula rápida e informal).
  • O comportamento eletromagnético de uma microfita é aproximado por uma linha com uma permissividade efetiva \varepsilon_{\mathrm{eff}} que fica entre 1 (ar) e \varepsilon_{\mathrm{r}} (substrato). Essa \varepsilon_{\mathrm{eff}} depende da razão w/h.
  • Para microfitas com w/h \le 1 (assimétricas, fita estreita), uma aproximação com boa precisão usa as fórmulas empíricas:
\varepsilon_{\mathrm{eff}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}-1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1+12\,\dfrac{h}{w}}}+0,04\bigl(1-\dfrac{w}{h}\bigr)^{2}\right)
e, para a impedância característica,
Z_{0}=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}\ln\!\left(\frac{8\,h}{w}+0,25\,\frac{w}{h}\right).
  • O que significam as variáveis:
    • \varepsilon_{\mathrm{r}}: permissividade relativa do substrato (dado);
    • h: altura do substrato (dado);
    • w: largura da fita condutora (dado);
    • \varepsilon_{\mathrm{eff}}: permissividade efetiva da linha (a calcular);
    • Z_{0}: impedância característica da microfita (a calcular).
  • Observação prática: primeiro calculamos w/h para decidir qual fórmula usar; depois calculamos \varepsilon_{\mathrm{eff}} e, por fim, Z_{0}.

Passo 3

Calcular a razão w/h e escolher a fórmula adequada.
\frac{w}{h}=\frac{0,045}{0,05}=0,9.
Como \dfrac{w}{h}=0,9\le 1, usamos as fórmulas para o caso w/h\le 1 indicadas no passo anterior.

Passo 4

Calcular a permissividade efetiva \varepsilon_{\mathrm{eff}} passo a passo.
Primeiro calculemos o termo \dfrac{1}{\sqrt{1+12\,h/w}}:
1+12\,\frac{h}{w}=1+12\cdot\frac{0,05}{0,045}=1+12\cdot 1{,}111\ldots=1+13{,}333\ldots=14{,}333\ldots
\frac{1}{\sqrt{1+12\,h/w}}=\frac{1}{\sqrt{14{,}333\ldots}}\approx\frac{1}{3{,}787}\approx0{,}2640.
Agora o termo de correção 0,04(1-w/h)^{2}:
1-\frac{w}{h}=1-0{,}9=0{,}1\quad\Rightarrow\quad(1-\frac{w}{h})^{2}=0{,}01
0{,}04(1-\frac{w}{h})^{2}=0{,}04\cdot 0{,}01=0{,}0004.
Somando os dois termos dentro do parêntese:
\frac{1}{\sqrt{1+12\,h/w}}+0{,}04(1-\frac{w}{h})^{2}\approx 0{,}2640+0{,}0004=0{,}2644.
Agora aplicamos a fórmula de \varepsilon_{\mathrm{eff}}. Lembre que \varepsilon_{\mathrm{r}}=2{,}2, então
\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}+1}{2}=\frac{2{,}2+1}{2}=\frac{3{,}2}{2}=1{,}6,
\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}}-1}{2}=\frac{2{,}2-1}{2}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6.
Portanto
\varepsilon_{\mathrm{eff}}=1{,}6+0{,}6\cdot 0{,}2644=1{,}6+0{,}15864=1{,}75864\approx 1{,}759.
Explicando em palavras: a permissividade efetiva fica entre 1 e 2{,}2; aqui deu cerca de 1{,}76, o que faz sentido porque parte do campo está no ar e parte no dielétrico.

Passo 5

Calcular a impedância característica Z_{0} usando \varepsilon_{\mathrm{eff}}.
Usamos
Z_{0}=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}\ln\!\left(\frac{8h}{w}+0{,}25\,\frac{w}{h}\right).
Calculemos os termos numéricos:
\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}=\sqrt{1{,}75864}\approx 1{,}3265.
\frac{8h}{w}=8\cdot\frac{0,05}{0,045}=8\cdot 1{,}111\ldots=8{,}888\ldots
0{,}25\,\frac{w}{h}=0{,}25\cdot 0{,}9=0{,}225
\frac{8h}{w}+0{,}25\,\frac{w}{h}=8{,}888\ldots+0{,}225=9{,}113888\ldots
\ln\!\left(9{,}113888\ldots\right)\approx 2{,}20945.
Agora
\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{eff}}}}=\frac{60}{1{,}3265}\approx 45{,}248.
Multiplicando:
Z_{0}\approx 45{,}248\cdot 2{,}20945\approx 99{,}99\\ \Omega\approx 100\\ \Omega.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova (curtinha e amigável).
  • Mostramos passo a passo como aplicar as fórmulas empíricas para microfita quando w/h\le 1: primeiro \varepsilon_{\mathrm{eff}}, depois Z_{0}.
  • O valor calculado fica essencialmente em 100\\ \Omega, confirmando a afirmação do enunciado.
  • Dica prática: para prova, sempre calcule w/h primeiro; com w/h bem próximo de 1, usar a expressão com o termo corretivo (o 0{,}04(1-w/h)^{2}) melhora a precisão.

Resposta

Z_{0}\approx100\\ \Omega

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