Qual a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal?
p H=p K_{b}+\log \left(\frac{[B]}{\left[B H^{+}\right]}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pergunta: fornecer a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal (o ácido fraco e sua base conjugada).
  • Informação fornecida pelo usuário: pH = pK_{b} + \log\!\left(\dfrac{[B]}{[BH^{+}]}\right).
  • Nosso objetivo: verificar se a fórmula dada está correta para um tampão ácido/seud-sal (ácido fraco + seu sal) e apresentar a expressão correta, com explicação passo a passo.

Passo 2

Equilíbrio químico do ácido fraco e definição de K_a.
  • Considere o ácido fraco HA (o ácido do tampão) que em água dissocia:
HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-}
  • A constante de dissociação ácida é definida por
K_a = \dfrac{[H^{+}]\,[A^{-}]}{[HA]}.
Aqui:
  • [H^{+}] é a concentração de íons hidrogênio livre;
  • [A^{-}] é a concentração da base conjugada (presente no sal);
  • [HA] é a concentração do ácido fraco não dissociado.

Passo 3

Isolar [H^{+}] e transformar para pH.
  • Da definição de K_a isolamos [H^{+}]:
[H^{+}] = K_a \cdot \dfrac{[HA]}{[A^{-}]}.
  • Aplicando -\log em ambos os lados (lembre: pH = -\log[H^{+}] e pK_a = -\log K_a), obtemos:
pH = -\log[H^{+}] = -\log\left(K_a \cdot \dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).
  • Usando propriedades do logaritmo:
pH = -\log K_a - \log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right).
  • Como -\log K_a = pK_a e -\log\!\left(\dfrac{[HA]}{[A^{-}]}\right)=\log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right), chegamos à forma conhecida:
pH = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right).

Passo 4

Explicando a fórmula (didaticamente, sem pular etapas).
  • Significado dos termos:
    • \;pH = -\log[H^{+}]: escala para medir a acidez (quanto menor, mais ácido).
    • \;pK_a = -\log K_a: medida de força do ácido; quanto menor pK_a, mais forte o ácido.
    • \;[A^{-}]: concentração da base conjugada (geralmente vinda do sal do ácido).
    • \;[HA]: concentração do ácido fraco.
  • Interpretação prática: a fórmula diz que o pH do tampão depende do pKa do ácido e do logaritmo da razão entre base conjugada e ácido não dissociado. Se [A^{-}]=[HA], o logaritmo é zero e pH=pK_a.
  • Condições de validade (assunções comuns): usa-se concentrações molares como aproximação das concentrações de equilíbrio (atividades ≈ concentrações), e o tampão funciona bem quando as concentrações não são muito baixas e a razão [A^{-}]/[HA] está entre aproximadamente 0,1 e 10 (regra prática).

Passo 5

Sobre a fórmula que você escreveu e formas alternativas.
  • A expressão que você apresentou, pH = pK_{b} + \log\!\left(\dfrac{[B]}{[BH^{+}]}\right), não é a forma correta para um tampão composto por um ácido fraco e seu sal. Essa forma lembra a expressão para um tampão formado por uma base fraca B e seu sal BH^{+}, mas até aí está trocado: para uma base fraca a forma usual em termos de pOH é
pOH = pK_b + \log\!\left(\dfrac{[BH^{+}]}{[B]}\right).
  • Convertendo para pH (usando pH = pK_w - pOH, com pK_w geralmente 14{,}00 a 25^\circC) obtemos uma forma equivalente em termos de pK_b:
pH = pK_w - pK_b + \log\!\left(\dfrac{[B]}{[BH^{+}]}\right).
Como pK_w - pK_b = pK_a (da relação entre constantes conjugadas), essa última expressão é equivalente à forma com pK_a:
pH = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[B]}{[BH^{+}]}\right),
onde, neste contexto, [B] é a base conjugada e [BH^{+}] é o ácido conjugado. Repare que a sua fórmula faltou a conversão pK_w - pK_b (ou, em outras palavras, usar pK_a em vez de pK_b).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (bem prático):
  • Ácido acético/acetato: pK_a \approx 4{,}76.
  • Se [A^{-}]=[HA], então pH = pK_a = 4{,}76.
  • Se [A^{-}] = 10\,[HA], então pH = 4{,}76 + \log(10) = 5{,}76.

Resposta

pH = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right)

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