Expresse z_{1}=0+10 i na forma polar.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de 0^{\circ} e 360^{\circ}.
z_{1}=

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número complexo z_{1}=0+10\,i na forma polar, em termos exatos e usando graus, com o ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ].
Informações dadas:
  • Parte real: x=0.
  • Parte imaginária: y=10.

Passo 2

O que é a forma polar de um complexo?
Todo complexo z=x+yi pode ser escrito na forma polar como
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde:
  • r é o módulo (distância do ponto x+yi à origem) dado por r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor que representa z), comumente expresso em graus ou radianos. O argumento deve ser escolhido conforme o quadrante do ponto (x,y).
Explicação intuitiva: r mede “quão longe” o ponto está da origem e \theta indica a direção. Na prova, calcule primeiro r com a fórmula do módulo e depois determine \theta observando sinais de x e y (ou usando \theta=\arctan(y/x) quando x\neq0).

Passo 3

Calcular o módulo r para z_{1}. Usando x=0 e y=10:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+10^{2}}=\sqrt{100}=10.
Comentário amigo: aqui deu certinho um número inteiro, ótimo — na prova isso economiza tempo.

Passo 4

Determinar o argumento \theta. O ponto correspondente a z_{1} é (0,10). Observe:
  • x=0 e y>0, então o ponto está sobre o eixo imaginário positivo.
    O ângulo medida a partir do eixo real positivo até esse ponto é exatamente \theta=90^\circ.
    Observação técnica: a fórmula \theta=\arctan(y/x) não pode ser usada diretamente quando x=0 (divisão por zero). Nesses casos usa-se a posição do ponto para escolher \theta (aqui, sobre o eixo positivo, dá 90^\circ).

Passo 5

Escrever z_{1} na forma polar usando os valores encontrados. Substituindo r=10 e \theta=90^\circ na fórmula:
z_{1}=10\bigl(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ\bigr).
Verificação rápida (opcional): \cos 90^\circ=0 e \sin 90^\circ=1, então 10(0+i\cdot1)=10i, que é o z_{1} original — tudo consistente.

Resposta

10\bigl(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ\bigr)

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