Determine o volume do sólido que se encontra:
Abaixo do paraboloide
e acima da região
delimitada por
e
.
Abaixo do paraboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e “acima” da região
do plano
delimitada por
e por
.
Informações dadas e perguntas:
- Superfície superior:
. - Região
é delimitada por e por . - Pergunta: determinar o volume do sólido que fica sobre a região
no plano e abaixo da superfície .
Informações úteis que podemos extrair (sem resolver ainda):
- A equação
implica , isto é, ou . - A curva
é a parábola usual que intercepta as retas horizontais e em pontos que serão úteis para descrever .
Passo 2
Entendendo o que significa "volume abaixo do paraboloide e acima de
":
- O volume de um sólido que está abaixo de uma superfície
e acima de uma região no plano é dado pela integral dupla
- Aqui
. Logo
Explicação rápida:
representa uma pequena área no plano
; somando
sobre todo
soma as alturas
acima de cada pedaço de área, dando o volume total.
Passo 3
Descrever a região
no plano
de forma conveniente para integrar:
- Da equação
obtemos ou . Assim as curvas que delimitam são a parábola e as retas horizontais e . - Interseções importantes:
-
com ocorre em . -
com ocorre em .
-
- Para um valor fixo de
entre e , os pontos que pertencem à porção dentro da parábola satisfazem (porque dá ). - Portanto uma descrição conveniente é
Observação: essa escolha (integrar primeiro em
e depois em
) é natural porque as curvas que limitam em
são
, expressas explicitamente em função de
.
Passo 4
Montar a integral dupla usando a descrição de
:
Comentário didático: escolhemos a ordem
porque os limites em
ficam simples
a
. Também poderíamos tentar outra ordem, mas esta é direta e aproveita a simetria em
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Separar termos:
- Primeiro termo (simetria):
é par, então
Explicando passos:
. Avaliando de
a
dá
. Multiplica por 2 pela simetria.
- Segundo termo:
é constante em relação a , então
- Somando os dois resultados:
Passo 6
Agora integrar em
de
a
:
Calcule as primitivas termo a termo:
Para
:
Multiplicando pelo fator
dá
.
Para
:
Multiplicando pelo fator
dá
.
Portanto a primitiva total é
Avaliar de
a
:
Passo 7
Somar as frações:
Se desejar uma aproximação decimal,