Determine o volume do sólido que se encontra:
Abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} e acima da região D delimitada por y=x^{2} e y= y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} e “acima” da região D do plano xy delimitada por y=x^{2} e por y=y^{2}.
Informações dadas e perguntas:
  • Superfície superior: z=x^{2}+y^{2}.
  • Região D é delimitada por y=x^{2} e por y=y^{2}.
  • Pergunta: determinar o volume do sólido que fica sobre a região D no plano xy e abaixo da superfície z=x^{2}+y^{2}.
Informações úteis que podemos extrair (sem resolver ainda):
  • A equação y=y^{2} implica y^{2}-y=0, isto é, y=0 ou y=1.
  • A curva y=x^{2} é a parábola usual que intercepta as retas horizontais y=0 e y=1 em pontos que serão úteis para descrever D.

Passo 2

Entendendo o que significa "volume abaixo do paraboloide e acima de D":
  • O volume de um sólido que está abaixo de uma superfície z=f(x,y) e acima de uma região D no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
  • Aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Logo
V=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA.
Explicação rápida: dA representa uma pequena área no plano xy; somando f(x,y)\,dA sobre todo D soma as alturas z acima de cada pedaço de área, dando o volume total.

Passo 3

Descrever a região D no plano xy de forma conveniente para integrar:
  • Da equação y=y^{2} obtemos y=0 ou y=1. Assim as curvas que delimitam D são a parábola y=x^{2} e as retas horizontais y=0 e y=1.
  • Interseções importantes:
    • y=x^{2} com y=0 ocorre em x=0.
    • y=x^{2} com y=1 ocorre em x=\pm 1.
  • Para um valor fixo de y entre 0 e 1, os pontos x que pertencem à porção dentro da parábola satisfazem -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y} (porque x^{2}=y x=\pm\sqrt{y}).
  • Portanto uma descrição conveniente é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\\\ -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}\}.
Observação: essa escolha (integrar primeiro em x e depois em y) é natural porque as curvas que limitam em x são x=\pm\sqrt{y}, expressas explicitamente em função de y.

Passo 4

Montar a integral dupla usando a descrição de D:
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (x^{2}+y^{2})\,dx\,dy.
Comentário didático: escolhemos a ordem dx\,dy porque os limites em x ficam simples -\sqrt{y} a \sqrt{y}. Também poderíamos tentar outra ordem, mas esta é direta e aproveita a simetria em x.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Separar termos:
\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (x^{2}+y^{2})\,dx = \int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx + \int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} y^{2}\,dx.
  • Primeiro termo (simetria): x^{2} é par, então
\int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx =2\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx =2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{y}} =2\cdot\frac{(\sqrt{y})^{3}}{3} =\frac{2}{3}y^{3/2}.
Explicando passos: \int x^{2}dx = x^{3}/3. Avaliando de 0 a \sqrt{y} (\sqrt{y})^{3}/3 = y^{3/2}/3. Multiplica por 2 pela simetria.
  • Segundo termo: y^{2} é constante em relação a x, então
\int_{- \sqrt{y}}^{\sqrt{y}} y^{2}\,dx = y^{2}\cdot\bigl(\sqrt{y}-(-\sqrt{y})\bigr) = y^{2}\cdot 2\sqrt{y} =2 y^{5/2}.
  • Somando os dois resultados:
\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (x^{2}+y^{2})\,dx =\frac{2}{3}y^{3/2}+2y^{5/2}.

Passo 6

Agora integrar em y de 0 a 1:
V=\int_{0}^{1}\left(\frac{2}{3}y^{3/2}+2y^{5/2}\right)\,dy.
Calcule as primitivas termo a termo:
Para y^{3/2}:
\int y^{3/2}\,dy=\frac{y^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}y^{5/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3} \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{2}{5}y^{5/2}=\tfrac{4}{15}y^{5/2}.
Para y^{5/2}:
\int y^{5/2}\,dy=\frac{y^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}y^{7/2}.
Multiplicando pelo fator 2 2\cdot \tfrac{2}{7}y^{7/2}=\tfrac{4}{7}y^{7/2}.
Portanto a primitiva total é
\frac{4}{15}y^{5/2}+\frac{4}{7}y^{7/2}.
Avaliar de 0 a 1:
V=\left[\frac{4}{15}y^{5/2}+\frac{4}{7}y^{7/2}\right]_{0}^{1} =\frac{4}{15}\cdot 1+\frac{4}{7}\cdot 1 =\frac{4}{15}+\frac{4}{7}.

Passo 7

Somar as frações:
\frac{4}{15}+\frac{4}{7}=\frac{4\cdot 7}{105}+\frac{4\cdot 15}{105}=\frac{28+60}{105}=\frac{88}{105}.
Se desejar uma aproximação decimal,
\frac{88}{105}\approx 0{,}838095\ldots

Resposta

\dfrac{88}{105}

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