Seja a função de duas variáveis
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine o maior conjunto de pontos onde a função é diferenciável. Justifique. ( 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede: determinar o maior conjunto de pontos onde f é diferenciável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está explicitamente definida em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.
  • Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é uma razão de polinômios com denominador não nulo.
  • No ponto (0,0) o valor foi definido como 0.
    O que se quer: identificar todos os pontos (x,y) em que f é diferenciável (e justificar).]

Passo 2

Argumento geral para (x,y)\neq(0,0): explicar por que f é diferenciável aí.
Teoria necessária (em palavras simples): uma função obtida por operações algébricas (soma, produto, quociente) de funções polinomiais é diferenciável onde o quociente é bem definido (isto é, onde o denominador é diferente de zero). Isso porque polinômios são infinitamente diferenciáveis e operações básicas preservam diferenciabilidade.
Aplicando ao caso: para (x,y)\neq(0,0) tem-se x^{2}+y^{2}\neq0, logo (x,y)\mapsto x y e (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} são polinômios, e a divisão é bem definida; portanto f é diferenciável (na verdade C^{\infty}) em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).
Observação ilustrativa: se quiser calcular derivadas parciais para praticar, por exemplo para (x,y)\neq(0,0) pode usar a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y(x^{2}+y^{2})-x y\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y(x^{2}+y^{2}-2x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e análogo para \partial f/\partial y. Esses são bem definidos quando x^{2}+y^{2}\neq0.

Passo 3

Estudo do comportamento radial (fórmula em coordenadas polares) — ferramenta didática útil para entender o que acontece perto da origem.
Troca para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0. Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(r\cos\theta,r\sin\theta) =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta} =\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)} =\cos\theta\sin\theta.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta),
ou seja, f depende só do ângulo \theta e não do raio r. Isso já dá uma pista: ao aproximar a origem por direções diferentes, f tende a valores diferentes (em geral), porque o valor só depende da direção.

Passo 4

Conclusão sobre continuidade e diferenciabilidade em (0,0).
Lembrete teórico curto e importante: se uma função é diferenciável num ponto então ela é, em particular, contínua nesse ponto. Logo, para provar que f não é diferenciável em (0,0) basta mostrar que f não é contínua em (0,0).
Teste de limites por retas (método didático simples): aproximar (0,0) pela reta y=m x (com m constante). Para x\neq0,
f(x,mx)=\frac{x\cdot m x}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\frac{m x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m}{1+m^{2}}.
Esse valor não depende de x; portanto, ao aproximar a origem ao longo da reta y=mx a função tende a \dfrac{m}{1+m^{2}}. Como esse limite depende de m, ao escolher direções diferentes obtém-se limites diferentes. Por exemplo:
  • para m=0 (eixo x) o limite é 0;
  • para m=1 (reta y=x) o limite é \dfrac{1}{2}.
Como os limites direcionais não coincidem, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe; portanto f não é contínua em (0,0). Assim f também não pode ser diferenciável em (0,0).
Comentário extra (didático): mesmo que as derivadas parciais em (0,0) existam (e neste caso elas existem e valem zero, cálculo rápido: \partial f/\partial x(0,0)=\lim_{h\to0}\tfrac{f(h,0)-0}{h}=0, e similar para y), isso não garante diferenciabilidade — a continuidade (ou melhor, o comportamento do resto na aproximação linear) é essencial. Aqui a falta de limite único já elimina diferenciabilidade.

Passo 5

Síntese e resposta final lógica: juntando os fatos:
  • em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0) a função é diferenciável (é uma razão de polinômios com denominador não nulo);
  • em (0,0) a função não é contínua e, portanto, não é diferenciável.
Logo o maior conjunto de pontos onde f é diferenciável é \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.

Resposta

\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}

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