Expresse a área da parte da superfície z=f(x, y) que fica acima da região R do plano x y como uma integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para expressar, por meio de uma integral dupla, a área da parte da superfície \,z=f(x,y)\, que está sobre uma região R do plano xy.
Informações dadas:
  • A superfície está descrita pela função \,z=f(x,y)\,.
  • A região de projeção no plano xy é a região R.
  • Objetivo: escrever a área dessa porção da superfície como uma integral dupla sobre R.

Passo 2

Ideia geométrica e parametrização: visualizar a superfície como o gráfico de uma função de duas variáveis. Parametrizamos o gráfico usando as próprias coordenadas x e y. Definimos o vetor posição da superfície por
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr),
com (x,y) variando em R.
Explicação curta sobre derivadas parciais que vamos usar:
  • \,f_x(x,y)\, é a derivada parcial de f em relação a x: descreve a inclinação (tangente) da superfície quando se move apenas na direção x, mantendo y fixo.
  • \,f_y(x,y)\, é a derivada parcial de f em relação a y: descreve a inclinação quando se move apenas na direção y, mantendo x fixo.
Essas derivadas aparecem porque a área de um pequeno patch da superfície é dada pela área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y.

Passo 3

Calcular os vetores tangentes \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y:
\mathbf{r}_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{r}(x,y)=\bigl(1,\;0,\;f_x(x,y)\bigr),
\mathbf{r}_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{r}(x,y)=\bigl(0,\;1,\;f_y(x,y)\bigr).
Interpretação: \mathbf{r}_x é o vetor tangente à superfície ao variar x (com y fixo) e \mathbf{r}_y é o vetor tangente ao variar y.

Passo 4

Área elementar da superfície: o módulo do produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y dá a área do paralelogramo formado pelos vetores tangentes, que é a área local da superfície correspondente ao elemento dA no plano xy.
Calculemos o produto vetorial explicitamente:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & f_x(x,y) \\\\ 0 & 1 & f_y(x,y) \end{vmatrix} = \bigl(-f_x(x,y),\; -f_y(x,y),\; 1\bigr).
Agora o módulo:
\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert = \sqrt{\bigl(-f_x(x,y)\bigr)^2 + \bigl(-f_y(x,y)\bigr)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}.

Passo 5

Formulação da integral dupla: a área A da parte do gráfico de z=f(x,y) que fica sobre R é a integral sobre R da área elementar encontrada. Assim
A=\iint_{R}\bigl\lVert \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\rVert\,dA =\iint_{R}\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\;dA.
Observações práticas para a prova:
  • Calcule \,f_x(x,y)\, e \,f_y(x,y)\, explicitamente.
  • Substitua na raiz e escreva a integral dupla sobre R. Se for preciso calcular numericamente, transforme em integral iterada (por exemplo \int_{a}^{b}\int_{c(x)}^{d(x)} \cdots \,dy\,dx ou \int\int dx\,dy) conforme a geometria de R.
  • Condição usual: f deve ser diferenciável em R (ou pelo menos ter derivadas parciais contínuas) para que a fórmula valha.

Passo 6

Exemplo rápido (para fixar a ideia): se a superfície é um plano \,z=ax+by+c\,, então \,f_x=a e \,f_y=b são constantes. A área sobre qualquer região R vale
A=\iint_R \sqrt{1+a^2+b^2}\;dA = \sqrt{1+a^2+b^2}\cdot \text{(área de \(R\))}.á
Isso faz sentido: o plano apenas estica a área projetada por um fator constante.

Resposta

A=\iint_{R}\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\;dA

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