A integral tripla em um sólido
em um sistema de coordenadas
é definida como
Descreva o procedimento no qual é baseada essa definição.
Passo 1
O enunciado dá a definição por soma de Riemann da integral tripla
e pede que eu descreva o procedimento no qual essa definição se baseia. Informações relevantes fornecidas:
- A região de integração é o sólido
no espaço . - A soma é feita sobre
pedaços (sub-regiões) do sólido, cada um com volume . - Em cada sub-região escolhe-se um ponto amostral
para avaliar . - A integral é o limite dessa soma quando a malha da partição fica “cada vez mais fina” (representado por
na fórmula).
Passo 2
Particionar o sólido
. Explicando devagar:
- Fazer uma divisão (partição) de
em sub-regiões disjuntas tais que e as interseções entre sub-regiões têm volume zero (só se tocam pelas fronteiras). - Para cada sub-região
associar um número positivo que é o volume de . - Definir a “malha” ou norma da partição
como a maior dimensão das sub-regiões (por exemplo, o maior diâmetro entre pontos de uma mesma ):
Intuição: quanto menor
, mais finas são as sub-regiões e melhor a aproximação.
Passo 3
Escolher pontos amostrais e construir a soma de Riemann.
- Em cada sub-região
escolhe-se um ponto amostral . Pode ser o centro, um vértice, ou qualquer ponto interno. - Aproxima-se o contributo da função em
por vezes o volume . - A soma de Riemann correspondente é
Intuição geométrica: pense em cada
como uma base e
como altura de um bloco; o volume desse bloco aproxima a contribuição de
.
Passo 4
Passar ao limite para obter a integral.
- A definição formal exige considerar sequências de partições cuja norma
tende a zero. Se, para qualquer escolha de pontos amostrais e qualquer sequência de partições com , as somas convergirem para o mesmo número, esse número é a integral: - A fórmula dada no enunciado com
é uma forma concreta dessa ideia: aumentar o número de sub-regiões e fazer com que o maior tamanho delas vá a zero. - Observação prática: em provas costuma-se aceitar a noção “malha tende a zero” como equivalente ao enunciado dado.
Passo 5
Quando essa definição vale (condições de integrabilidade).
- Para que a integral exista (ou seja, o limite seja bem definido independente das escolhas), normalmente exige-se que
seja limitada em e que o conjunto de pontos de descontinuidade de tenha “medida zero” (condição padrão de Riemann). Uma hipótese mais forte e simples: se é contínua em e é limitado, então é integrável. - Na prática, para calcular, assume-se funções razoáveis (contínuas ou com poucas descontinuidades).
Passo 6
Como usar isso na prática (passo para calcular uma integral tripla em prova).
- Passo A: descrever
de forma conveniente. Há dois casos comuns: -
é um paralelepípedo: . -
é “tipo” descrito por desigualdades aninhadas, por exemplo
-
- Passo B: trocar a soma de Riemann pelo integral iterado (teorema de Fubini / Tonelli, sob hipóteses adequadas):
ou em outra ordem conveniente. - Passo C: escolher a ordem de integração que torna os limites simples e calcular as integrais iteradas passo a passo.
- Dica: se
for um paralelepípedo, as somas de Riemann usam e o limite dá diretamente
Passo 7
Exemplo curto e didático (ajuda a fixar).
- Seja
e . Dividindo cada intervalo em partes iguais tem-se e . - A soma de Riemann é
- Como
etc., no limite obtém-se que é o volume de . Isso mostra concretamente a ligação soma de Riemann ⇢ volume ⇢ integral.
Passo 8
Mudança de coordenadas (quando é útil).
- Se
tem simetria cilíndrica ou esférica, é mais simples usar coordenadas cilíndricas ou esféricas . - Nesse caso, a soma de Riemann em coordenadas novas pede que substitua
pelo fator de escala (Jacobian): - Procedimento: parametrizar
, escrever nas novas coordenadas, usar os limites apropriados e calcular as integrais iteradas.
Passo 9
Resumo prático (check-list que pode usar na prova)
- Identificar e descrever
de maneira conveniente. - Se possível, transformar a definição por soma de Riemann diretamente em integral iterada (usar Fubini).
- Escolher ordem de integração que simplifique os limites.
- Se a região pede, mudar para coordenadas cilíndricas/esféricas e incluir o Jacobiano.
- Calcular as integrais internas uma a uma até obter o valor final.
- Lembrar que a definição formal por soma de Riemann garante que este procedimento é legítimo quando
é integrável.
Resposta
Particionar
em pequenas sub-regiões
de volume
, escolher em cada
um ponto amostral
, formar a soma de Riemann
e tomar o limite quando a norma da partição
tende a zero; se esse limite existir e for independente das escolhas de pontos e partições, ele é a integral tripla
.