A integral tripla em um sólido G em um sistema de coordenadas x y z é definida como
\iiint_{G} f(x, y, z) d V=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}^{*}, y_{k}^{*}, z_{k}^{*}\right) \Delta V_{k}
Descreva o procedimento no qual é baseada essa definição.

Passo 1

O enunciado dá a definição por soma de Riemann da integral tripla
\iiint_{G} f(x,y,z)\,dV=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*,z_k^*\big)\,\Delta V_k
e pede que eu descreva o procedimento no qual essa definição se baseia. Informações relevantes fornecidas:
  • A região de integração é o sólido G no espaço (x,y,z).
  • A soma é feita sobre n pedaços (sub-regiões) do sólido, cada um com volume \Delta V_k.
  • Em cada sub-região escolhe-se um ponto amostral (x_k^*,y_k^*,z_k^*) para avaliar f.
  • A integral é o limite dessa soma quando a malha da partição fica “cada vez mais fina” (representado por n\to\infty na fórmula).

Passo 2

Particionar o sólido G. Explicando devagar:
  • Fazer uma divisão (partição) de G em n sub-regiões disjuntas G_1,G_2,\dots,G_n tais que G = \bigcup_{k=1}^n G_ke as interseções entre sub-regiões têm volume zero (só se tocam pelas fronteiras).
  • Para cada sub-região G_k associar um número positivo \Delta V_k que é o volume de G_k.
  • Definir a “malha” ou norma da partição \|P\| como a maior dimensão das sub-regiões (por exemplo, o maior diâmetro entre pontos de uma mesma G_k): \|P\|=\max_{1\le k\le n}\operatorname{diam}(G_k).
Intuição: quanto menor \|P\|, mais finas são as sub-regiões e melhor a aproximação.

Passo 3

Escolher pontos amostrais e construir a soma de Riemann.
  • Em cada sub-região G_k escolhe-se um ponto amostral (x_k^*,y_k^*,z_k^*)\in G_k. Pode ser o centro, um vértice, ou qualquer ponto interno.
  • Aproxima-se o contributo da função em G_k por f(x_k^*,y_k^*,z_k^*) vezes o volume \Delta V_k.
  • A soma de Riemann correspondente é S(P,f)=\sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*,z_k^*\big)\,\Delta V_k.
Intuição geométrica: pense em cada G_k como uma base e f(x_k^*,y_k^*,z_k^*) como altura de um bloco; o volume desse bloco aproxima a contribuição de G_k.

Passo 4

Passar ao limite para obter a integral.
  • A definição formal exige considerar sequências de partições cuja norma \|P\| tende a zero. Se, para qualquer escolha de pontos amostrais e qualquer sequência de partições com \|P\|\to 0, as somas S(P,f) convergirem para o mesmo número, esse número é a integral: \iiint_{G} f(x,y,z)\,dV=\lim_{\|P\|\to 0} S(P,f).
  • A fórmula dada no enunciado com \lim_{n\to\infty} é uma forma concreta dessa ideia: aumentar o número de sub-regiões e fazer com que o maior tamanho delas vá a zero.
  • Observação prática: em provas costuma-se aceitar a noção “malha tende a zero” como equivalente ao enunciado dado.

Passo 5

Quando essa definição vale (condições de integrabilidade).
  • Para que a integral exista (ou seja, o limite seja bem definido independente das escolhas), normalmente exige-se que f seja limitada em G e que o conjunto de pontos de descontinuidade de f tenha “medida zero” (condição padrão de Riemann). Uma hipótese mais forte e simples: se f é contínua em G e G é limitado, então f é integrável.
  • Na prática, para calcular, assume-se funções razoáveis (contínuas ou com poucas descontinuidades).

Passo 6

Como usar isso na prática (passo para calcular uma integral tripla em prova).
  • Passo A: descrever G de forma conveniente. Há dois casos comuns:
    • G é um paralelepípedo: G=[a,b]\times[c,d]\times[e,f].
    • G é “tipo” descrito por desigualdades aninhadas, por exemplo a\le x\le b,\quad g_1(x)\le y\le g_2(x),\quad h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y).
  • Passo B: trocar a soma de Riemann pelo integral iterado (teorema de Fubini / Tonelli, sob hipóteses adequadas): \iiint_{G} f(x,y,z)\,dV =\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx,ou em outra ordem conveniente.
  • Passo C: escolher a ordem de integração que torna os limites simples e calcular as integrais iteradas passo a passo.
  • Dica: se G for um paralelepípedo, as somas de Riemann usam \Delta V_k=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z e o limite dá diretamente \iiint_{G} f\,dV=\int_a^b\int_c^d\int_e^f f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 7

Exemplo curto e didático (ajuda a fixar).
  • Seja G=[a,b]\times[c,d]\times[e,f] e f(x,y,z)=1. Dividindo cada intervalo em n_x,n_y,n_z partes iguais tem-se \Delta x,\Delta y,\Delta z e \Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.
  • A soma de Riemann é S=\sum_{i=1}^{n_x}\sum_{j=1}^{n_y}\sum_{k=1}^{n_z} 1\cdot(\Delta x\,\Delta y\,\Delta z) =n_x n_y n_z\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.
  • Como n_x\Delta x=b-a etc., no limite obtém-se \iiint_{G}1\,dV=(b-a)(d-c)(f-e),que é o volume de G. Isso mostra concretamente a ligação soma de Riemann ⇢ volume ⇢ integral.

Passo 8

Mudança de coordenadas (quando é útil).
  • Se G tem simetria cilíndrica ou esférica, é mais simples usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) ou esféricas (\rho,\varphi,\theta).
  • Nesse caso, a soma de Riemann em coordenadas novas pede que substitua dV pelo fator de escala (Jacobian): dV=r\,dr\,d\theta\,dz\quad\text{(cilíndricas)}, \qquad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\quad\text{(esféricas)}.íé
  • Procedimento: parametrizar G, escrever f nas novas coordenadas, usar os limites apropriados e calcular as integrais iteradas.

Passo 9

Resumo prático (check-list que pode usar na prova)
  1. Identificar e descrever G de maneira conveniente.
  2. Se possível, transformar a definição por soma de Riemann diretamente em integral iterada (usar Fubini).
  3. Escolher ordem de integração que simplifique os limites.
  4. Se a região pede, mudar para coordenadas cilíndricas/esféricas e incluir o Jacobiano.
  5. Calcular as integrais internas uma a uma até obter o valor final.
  6. Lembrar que a definição formal por soma de Riemann garante que este procedimento é legítimo quando f é integrável.

Resposta

Particionar G em pequenas sub-regiões G_k de volume \Delta V_k, escolher em cada \,G_k um ponto amostral (x_k^*,y_k^*,z_k^*), formar a soma de Riemann \sum_{k=1}^n f(x_k^*,y_k^*,z_k^*)\,\Delta V_k e tomar o limite quando a norma da partição \|P\| tende a zero; se esse limite existir e for independente das escolhas de pontos e partições, ele é a integral tripla \displaystyle \iiint_G f(x,y,z)\,dV.

Exercícios relacionados