Expresse a área A da região limitada pelos gráficos de f(x)=x+5, h(x)=-1, g(x)=2 e y^2=x. Determine os pontos de intersecção das curvas. Apresente o(s) elemento(s) de área utilizado(s) no cálculo.

Passo 1

O enunciado pede a área A da região limitada pelas curvas
y = f(x)=x+5, y=h(x)=-1, y=g(x)=2, x=y^2
ou seja, o “telhado” é a reta y=x+5, o “piso” são as retas horizontais y=-1 e y=2, e um limite vertical dado pela parábola x=y^2. Vamos precisar:
  1. Determinar os pontos de intersecção dessas curvas.
  2. Escolher um elemento de área (aqui usaremos fatias horizontais, integramos em y).

Passo 2

Calculamos as interseções:
  1. Reta y=x+5 com y=-1:
-1 = x+5 Longrightarrow x=-6
  1. Reta y=x+5 com y=2:
2 = x+5 Longrightarrow x=-3
  1. Parábola x=y^2 com y=-1:
x=(-1)^2=1
  1. Parábola x=y^2 com y=2:
x=2^2=4
Não há interseção direta reta–parábola dentro de [-1,2], pois resolver y=y^2+5 não dá raízes reais.

Passo 3

Para cada yin[-1,2], a região va i de xrm esquerda dado pela reta resolvida em x=y-5 até xrm direita=y^2. Assim o elemento de área é
dA = l(xrm direita-xrm esquerdar),dy =l(y^2 - (y-5)r),dy =l(y^2 - y +5r),dy
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A = integraly=-1^2l(y^2 - y +5r),dy

Passo 4

Calculando o integral:
integral(y^2 - y +5),dy =y^33-y^22+5y
Avaliaremos de -1 até 2:
l[tfracy^33-tfracy^22+5yr]-1^2 =l(tfrac83-2+10r)-l(-tfrac13-tfrac12-5r) =323-l(-356r) =64+356 =996 =332

Resposta

A = 332

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