2 Uma função
diz-se periódica se existe um menor real
, denominado período de
, tal que
, para todo
.
(a) Dê exemplos de funções periódicas;
(b) seja
. Mostre que se
é periódica, então a é um número racional.
(a) Dê exemplos de funções periódicas;
(b) seja
Passo 1
O enunciado define uma função periódica como aquela que satisfaz
para todo
e algum
mínimo. Pede-se:
(a) dar exemplos de funções periódicas;
(b) mostrar que, se for periódica, então
é racional. Vamos usar identidades trigonométricas e a independência linear de funções trigonométricas.
(a) dar exemplos de funções periódicas;
(b) mostrar que, se
Passo 2
Alguns exemplos de funções periódicas são:
– , que tem período
.
– , que tem período
.
– , que tem período
.
–
–
–
Passo 3
Suponha que exista
tal que, para todo
,
Usando as fórmulas
obtemos
Passo 4
Como
,
,
e
são funções linearmente independentes em
, cada coeficiente no somatório acima deve ser zero. Assim, temos o sistema
Passo 5
Das duas primeiras equações segue
e das duas últimas
Logo
Resposta
(a) Exemplos:
com período
,
com período
,
com período
.
(b) Para periódica, concluímos que
.
(b) Para