2 Uma função f: R R diz-se periódica se existe um menor real P>0, denominado período de f, tal que f(x+P)=f(x), para todo x in R.
(a) Dê exemplos de funções periódicas;
(b) seja f: R R, f(x)=cos (a x)+cos (x). Mostre que se f é periódica, então a é um número racional.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica como aquela que satisfaz f(x+P)=f(x) para todo xinR e algum P>0 mínimo. Pede-se:
(a) dar exemplos de funções periódicas;
(b) mostrar que, se f(x)=cos(a x)+cos(x) for periódica, então a é racional. Vamos usar identidades trigonométricas e a independência linear de funções trigonométricas.

Passo 2

Alguns exemplos de funções periódicas são:
f(x)=sin(x), que tem período 2pi.
g(x)=tan(x), que tem período pi.
h(x)=cos(2x), que tem período pi.

Passo 3

Suponha que exista P>0 tal que, para todo x,
cosl(a(x+P)r)+cos(x+P) =cos(ax)+cos(x)
Usando as fórmulas
cosl(a(x+P)r) =cos(ax)cos(aP)-sin(ax)sin(aP),
cos(x+P) =cos xcos P-sin xsin P,
obtemos
f(x+P)-f(x) =cos(ax)l(cos(aP)-1r) -sin(ax)sin(aP) +cos xl(cos P-1r) -sin xsin P =0

Passo 4

Como cos(ax), sin(ax), cos x e sin x são funções linearmente independentes em R, cada coeficiente no somatório acima deve ser zero. Assim, temos o sistema
cos(aP)-1=0, sin(aP)=0, cos P-1=0, sin P=0

Passo 5

Das duas primeiras equações segue
aP = 2kpi (kinZ),
e das duas últimas
P = 2mpi (minZsetminus0)
Logo
a = 2kpiP = 2kpi2mpi = kminQ

Resposta

(a) Exemplos: sin(x) com período 2pi, tan(x) com período pi, cos(2x) com período pi.
(b) Para f(x)=cos(ax)+cos(x) periódica, concluímos que ainQ.

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