Expresse cada limite abaixo como uma integral definida no intervalo dado, sem resolvê-la.
(a) lim n +infty sumi=1^n xi^2 De,
(d) lim n +infty sumi=1^n e^xi1+xi De,
[0,1]
(b) lim n +infty sumi=1^n(xi^2-3 xi) De
(e) lim n +infty sumi=1^n xi raiz1+xi cdot De,
© lim n +infty sumi=1^n 1xi De
(f) lim n +infty sumi=1^n cos (xi)xi De

Passo 1

A questão pede para reconhecer cada soma de Riemann como uma integral definida no intervalo dado. O fundamento é a definição de integral definida via soma de Riemann: se , f é contínua em , [a,b] e , xi está em cada subintervalo com largura , De, então
limntoinftysumi=1^n f(xi),De

Passo 2

Para as partes (a), (d) e (e) o intervalo é , [0,1]. Identificamos as funções:
  • (a) , f(x)=x^2 leva a integral0^1 x^2,dx
    - (d) , f(x)=e^x1+x leva a
    integral0^1 e^x1+x,dx
  • (e) , f(x)=xraiz1+x leva a integral0^1 xraiz1+x,dx

Passo 3

Para a parte (b) o intervalo é , [-7,5] e , f(x)=x^2-3x, logo
integral-7^5 (x^2-3x),dx

Passo 4

Para a parte © o intervalo é , [1,4] e , f(x)=1/x, ficando
integral1^4 1x,dx

Passo 5

Para a parte (f) o intervalo é , [pi,2pi] e , f(x)=cos xx, resultando em
integralpi^2pi cos xx,dx

Resposta

(a) integral0^1 x^2,dx
(b) integral-7^5 (x^2-3x),dx
© integral1^4 1x,dx
(d) integral0^1 e^x1+x,dx
(e) integral0^1 xraiz1+x,dx
(f) integralpi^2pi cos xx,dx

Exercícios relacionados