Para cada função
a seguir, determine
, se possível, a função
, tal que g é contínua e
, para todo
:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para achar o domínio de f, que é uma função definida por partes, e depois ver se dá para estender f a toda R por meio de g contínua, mantendo g(x)=f(x) em D(f). Vamos usar conceitos de domínio de função, limite lateral e continuidade.
Passo 2
Cada uma das expressões de f (3x+1 e −2x) está bem definida para todo x real, exceto que em x=−2 não há definição. Logo
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty).
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty).
Passo 3
Para encontrar uma possível extensão contínua g em x=−2, precisamos que os limites laterais em −2 coincidam. Vamos calcular:
Limite à esquerda:
Limite à esquerda:
Limite à direita:
Passo 4
Como esses dois valores (4 e −5) são distintos, não existe valor único g(−2) que faça g ser contínua em x=−2 mantendo g(x)=f(x) para x≠−2.
Resposta
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty). Não existe g:ℝ→ℝ contínua que estenda f mantendo g(x)=f(x) em D(f).