Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R-1 R, tal que g é contínua e g(x)=f(x), para todo x in D(f) :
b) f(x)= 3 x+1, & x>-2 -2 x, & x<-2

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de f, que é uma função definida por partes, e depois ver se dá para estender f a toda R por meio de g contínua, mantendo g(x)=f(x) em D(f). Vamos usar conceitos de domínio de função, limite lateral e continuidade.

Passo 2

Cada uma das expressões de f (3x+1 e −2x) está bem definida para todo x real, exceto que em x=−2 não há definição. Logo
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty).

Passo 3

Para encontrar uma possível extensão contínua g em x=−2, precisamos que os limites laterais em −2 coincidam. Vamos calcular:
Limite à esquerda:
limxto -2^-f(x)=limxto -2^-(-2x)= -2cdot(-2)=4
Limite à direita:
limxto -2^+f(x)=limxto -2^+(3x+1)=3cdot(-2)+1=-5

Passo 4

Como esses dois valores (4 e −5) são distintos, não existe valor único g(−2) que faça g ser contínua em x=−2 mantendo g(x)=f(x) para x≠−2.

Resposta

D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty). Não existe g:ℝ→ℝ contínua que estenda f mantendo g(x)=f(x) em D(f).

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