Determine se cada um dos sinais é ou não periódico. Se um sinal for periódico, especifique seu período fundamental.
(a) x1(t)=j e^j 10 t
(b) x2(t)=e^(-1+f) t
© x3[n]=e^f 7 pi n
(d) x4[n]=3 e^j 3 pi(n+1 / 2) / 5
(e) x5[n]=3 e^j 3 / 5(n+1 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se cada um dos sinais é periódico ou não, e se for, qual é o período fundamental. Vamos usar conceitos de sinais periódicos, que são aqueles que se repetem após um certo intervalo de tempo ou número de amostras. Para isso, vamos analisar cada sinal separadamente, verificando se eles atendem às condições de periodicidade e, se sim, calcular o período fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o sinal T = 2piomega = 2pi10 = pi5 .
Um sinal complexo como esse é periódico se a frequência angular for um múltiplo racional de . Aqui, .
Para encontrar o período , usamos a fórmula:
Como o período é um valor finito, o sinal é periódico.

Passo 3

Agora, vamos para .
Esse é um sinal do tipo exponencial com uma parte real e uma parte imaginária. Para que seja periódico, a parte real deve ser nula, ou seja, . Isso implica que .
Se , o sinal não é periódico porque a parte real faz o sinal decair ou crescer exponencialmente, impedindo a repetição.

Passo 4

Vamos analisar omega = 2pi kN .
Aqui, temos um sinal discreto. Para sinais discretos, a periodicidade ocorre se a frequência f7pi = 2pi kN Rightarrow f = 2k7N for tal que:
onde e são inteiros.
No caso, . Para ser periódico, deve ser uma fração de , ou seja:
Se satisfaz essa relação com e inteiros, o sinal será periódico com período .

Passo 5

Agora, vamos para omega = 3pi5 (n + 12) = 3pi5 n + 3pi10 .
Simplificando o expoente:
3pi5 = 2pi kN Rightarrow 35 = 2kN Rightarrow N = 10k3
Para que o sinal seja periódico, a frequência angular N = 10 deve ser uma fração de :
Como deve ser inteiro, precisa ser múltiplo de 3. Portanto, o menor é quando :
Então, o per��odo fundamental é .

Passo 6

Por último, vamos ver omega = 35(n + 12) = 35n + 310 .
O expoente aqui é:
35 = 2kN Rightarrow N = 10k3
Para que o sinal seja periódico, a frequência N = 10 deve ser uma fração que pode ser expressa como :
Assim como na letra (d), para ser inteiro, precisa ser múltiplo de 3. O menor ocorre quando :
Portanto, o período fundamental é .

Resposta

(a) Periódico, período fundamental .
(b) Não periódico, a menos que , caso em que se torna periódico.
© Periódico se com inteiros, período .
(d) Periódico, período fundamental .
(e) Periódico, período fundamental .

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