Determine se cada um dos sinais é ou não periódico. Se um sinal for periódico, especifique seu período fundamental.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se cada um dos sinais é periódico ou não, e se for, qual é o período fundamental. Vamos usar conceitos de sinais periódicos, que são aqueles que se repetem após um certo intervalo de tempo ou número de amostras. Para isso, vamos analisar cada sinal separadamente, verificando se eles atendem às condições de periodicidade e, se sim, calcular o período fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o sinal
.
Um sinal complexo como esse é periódico se a frequência angular
for um múltiplo racional de
. Aqui,
.
Para encontrar o período
, usamos a fórmula:
Como o período
é um valor finito, o sinal é periódico.
Passo 3
Agora, vamos para
.
Esse é um sinal do tipo exponencial com uma parte real e uma parte imaginária. Para que seja periódico, a parte real deve ser nula, ou seja,
. Isso implica que
.
Se
, o sinal não é periódico porque a parte real faz o sinal decair ou crescer exponencialmente, impedindo a repetição.
Passo 4
Vamos analisar
.
Aqui, temos um sinal discreto. Para sinais discretos, a periodicidade ocorre se a frequência
for tal que:
onde
e
são inteiros.
No caso,
. Para ser periódico,
deve ser uma fração de
, ou seja:
Se
satisfaz essa relação com
e
inteiros, o sinal será periódico com período
.
Passo 5
Agora, vamos para
.
Simplificando o expoente:
Para que o sinal seja periódico, a frequência angular
deve ser uma fração de
:
Como
deve ser inteiro,
precisa ser múltiplo de 3. Portanto, o menor
é quando
:
Então, o per��odo fundamental é
.
Passo 6
Por último, vamos ver
.
O expoente aqui é:
Para que o sinal seja periódico, a frequência
deve ser uma fração que pode ser expressa como
:
Assim como na letra (d), para
ser inteiro,
precisa ser múltiplo de 3. O menor
ocorre quando
:
Portanto, o período fundamental é
.
Resposta
(a) Periódico, período fundamental
.
(b) Não periódico, a menos que
, caso em que se torna periódico.
© Periódico se
com
inteiros, período
.
(d) Periódico, período fundamental
.
(e) Periódico, período fundamental
.